derivate

A domani. Buona notte.

Da quanto affermato hai già determinato la funzione a valori reali definita in tutto ℝ, data da

$ f(x) = \begin{cases} -\sqrt{-4x-4} \qquad  \text{ per } x\le-1\\ -\sqrt{1-x^2} \qquad  \; \text{ per } -1 \lt x\le1\\ \sqrt{4x-4} \qquad \;\; \text{ per } x\gt-1 \end{cases} $

a.

Osserviamo che la funzione f(x) è continua in tutto ℝ. Questa osservazione è necessaria per l'applicazione del teorema delle derivate laterali.

I tre tratti della funzione f(x), presi singolarmente sono derivabili essendo composizione di funzioni elementari derivabili. In particolare le derivate negli intervalli indicati sono

$ f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{-x-1}} \qquad  \text{ per } x\lt-1\\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \qquad  \text{ per } -1 \lt x\lt1\\ \frac{1}{\sqrt{x-1}} \qquad  \text{ per } x\gt-1 \end{cases} $

Per poter affermare che la funzione f(x) è derivabile in tutto ℝ è necessario provare l'esistenza della derivata nei punti x = -1 e x = 1.

Il teorema delle derivate laterali ci autorizza a studiarle separatamente e, nel caso siano finite ed eguali, concludere che la derivata esiste.

i) per x = -1

• $ \displaystyle\lim_{x \to -1^-} f'(x) = +\infty$
• $ \displaystyle\lim_{x \to -1^+} f'(x) = -\infty$
• si tratta di una cuspide quindi la funzione non è derivabile in -1.

i) per x = 1

• $ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f'(x) = +\infty$
• $ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f'(x) = +\infty$
• si tratta di un punto a tangente verticale quindi la funzione non è derivabile in 1.

 b.

P(3, f(3)) = P(3, 2√2)

L'equazione della retta tangente in P(3, 2√2) è data dalla

$ y = f(3) + f'(x) (x-3) $
    $= 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(x-3) $
    $= \frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2} x $

Q(-1, 0) Verifichiamo che giace sulla retta tangente

$ 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} (-1) = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 0$

Si, l'equazione è soddisfatta.