Derivata 1^ e 2^

La cotangente è (coseno / seno);

y(x) = [cos(x)]^2 / [sen(x)]^2;

derivata di un rapporto di funzioni: 

y(x) = f(x) / g(x);

y'(x) = [f'(x)* g(x)  - f(x) * g'(x)] / [g(x)]^2;

(ricorda che al denominatore ci vuole il quadrato del denominatore g(x)).

y'(x) ={2 cos(x) (- sen(x) [sen(x)]^2 - [cos(x)]^2 * 2sen(x) cos(x)} /

/[sen(x)]^4  ;

y'(x) = {- 2 cos(x) * [sen(x)]^3 - 2 * [cos(x)]^3 sen(x)} / [sen(x)]^4;

raccogliamo - 2 sen(x) cos(x):

y'(x) = {- 2 sen(x) cos(x) * [sen(x)^2 + cos(x)^2]} / [sen(x)]^4;

ricorda che sen(x)^2 + cos(x)^2 = 1

y'(x) = [- 2 sen(x) cos(x)] / [sen(x)]^4;  semplifichiamo per sen(x),

y'(x) = [- 2 cos(x)] / [sen(x)]^3;   

ricorda che cos(x) / sen(x) = cot(x)

y'(x) = - 2 cot(x) /[sen(x)]^2.

E la derivata seconda? Deriviamo y'(x);

y'(x) = [- 2 cos(x)] / [sen(x)]^3; 

y''(x) = {[+ 2 sen(x) * [sen(x)]^3 - [- 2 cos(x)] * [3 sen(x)^2* cos(x)]} / 
/[sen(x)]^6; 

y''(x) = [+ 2 sen(x)^4 + 6 sen(x)^2 * cos(x)^2] / [sen(x)]^6; 

y''(x) =  sen(x)^2 * [2 sen(x)^2 + 6 cos(x)^2] / [sen(x)]^6; 

y''(x) =  [2 sen(x)^2 + 6 cos(x)^2] / [sen(x)]^4; 

y''(x) = 2 * sen(x)^2 /sen(x)^4 + 6 * [cos(x)^2 / sen(x)^2] / [sen(x)]^2=

= 2 / [sen(x)^2] + 6 cot(x)^2 / [sen(x)^2];

y''(x) = 2 * [1 + 3 cot(x)^2] /[sen(x)^2]

Ciao @alby

Come ormai consueto uso le funzioni composte per la prima e la regola del quoziente per la seconda.Controlla i calcoli.