Potete spiegarmi la risposta giusta e dirmi perchè è falsa la A ?
Potete spiegarmi la risposta giusta e dirmi perchè è falsa la A ?
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Livello 1
Problema:
Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che $f(x) \sim x^2$, per $x \to 0$. Allora:
A. $f$ è continua in $0$.
B. se $f$ è continua in $0$ allora è derivabile in $0$.
C. $f(x)=o(x^2), per $x \to 0$.
D. $f$ è derivabile in $0$.
Soluzione:
È noto che $\lim_{x \to 0} f(x) \approx \lim_{x \to 0} x^2=0$, per avere continuità è necessario che $f(0)=0$, ma ciò non è sempre garantito (discontinuità eliminabile), quindi la (A) è falsa.
Se $f$ è continua in $0$ si ha necessariamente che $f(0)=0$. Quindi per $x\neq0$,
$\frac{f(x)-f(0)}{x}
=\frac{f(x)}{x}
=\frac{x^2+o(x^2)}{x}
=x+o(x)$
che per $x\to0$ tende a $0$. Ciò significa che $f'(0)$ esiste ed è pari a $0$. La (B) è vera.
$f(x)=o(x^2)$ significa che $\lim f(x)/x^2=0$, ma qui $\lim f(x)/x^2=1$, quindi la (C) è falsa.
Senza assumere la continuità in 0, il rapporto $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ può non ammettere limite. La (D) è dunque falsa.
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Livello 6