Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ f(x) = \begin{cases} ln(1+x^2) \quad \text{se x ≤ 0} \\ x^3+2x \qquad \text{se x > 0} \end{cases}$
I due tratti sono continui, per essere continua in tutto il Dominio è necessario che lo sia anche nel punto di raccordo
La funzione è quindi continua in tutto ℝ.
Passiamo alla derivata
$ f'(x) = \begin{cases} \frac{2x}{1+x^2} \quad \qquad \text{se x ≤ 0} \\ 3x^2+2 \qquad \text{se x > 0} \end{cases}$
I due tratti sono derivabili, per essere derivabile in tutto il Dominio è necessario che lo sia anche nel punto di raccordo
Determiniamo il valore delle derivate laterali nel punto di raccordo
$ D^- f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f'(0) = 0 $
$ D^+ f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f'(0) = 2 $
Le due derivate laterali sono diverse, quindi la funzione f(x) NON è derivabile nel punto x = 0.
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Livello 6