Una situazione generica dello schema proposta è quella in cui $f(3$ è derivabile $n$ volte in $x_0$ per qualche $n \geqslant 2$ e risulta:
$$
f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=\ldots=f^{(n-1)} c\left(x_0\right)=0, \quad f^{(n)}\left(x_0\right) \neq 0
$$
Consideriamo il caso in cui $f^{(n)}\left(x_0\right)>0$. Per l'annullarsi delle derivate la formula di Taylor diventa:
$$
f(x)=f\left(x_0\right)+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+R_n(x)
$$
e si ha che
$$
\begin{gathered}
\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{\left(x-x_0\right)^n}= \\
=\lim _{x \rightarrow x_0}\left[\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}+\frac{R_n(x)}{\left(x-x_0\right)^n}\right]=\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}>0
\end{gathered}
$$
Salve, un piccolo dubbio per quanto riguarda la dimostrazione del metodo delle derivate successive: Il resto, come indicato dalla freccia rossa, non dovrebbe essere uguale a f(x)-f(x_0)-f^(n)(x_0)/n!(x-x_0)? Precisamente, perché si omette? Grazie mille
