[Risolto] Corpo rigido carrucola

Un filo inestensibile di massa trascurabile è avvolto su una carrucola scabra di massa
m = 2 kg a forma di disco omogeno di raggio R = 15 cm fissata nel suo centro di massa.
Ai due capi della fune sono collegati due punti di massa m2 = 300 g ed m1 = 150 g,
inizialmente a distanza d = 3 m lungo la verticale con m2 in alto rispetto ad m1. Il filo
non striscia sulla carrucola, trascinandola quindi nel suo moto, e il sistema viene
lasciato libero di muoversi con velocità iniziale nulla. Determina:
• l’accelerazione dei due corpi;
• il tempo necessario affinché i due corpi si trovino alla medesima altezza;
• la velocità angolare della carrucola in tale istante.

[1,01 m/s2; 1,72 s; 11,6 rad/s]

rammento che la massa m della carrucola, supposto omogeneo, può essere vista, al solo scopo inerziale,  come una massa equivalente me = m/2 da sommarsi alle masse traslanti m1 ed m2

accelerazione a = g(m2-m1)/(m1+m2+me) 

a = 9,806*(0,3-0,15)/(0,15+0,3+2/2) = 1,014 m/sec^2

Δh = 3/2 = a/2*t^2 

tempo t = √3/(1,014) = 1,72 sec 

accelerazione angolare α = a/r = 1,014/0,15 = 6,76 rad/sec^2

velocità angolare ω = α*t =6,76*1,72 = 11,6 rad/sec 

P1, T1, m1 = 300 g

P2, T2, m2 = 150 g

R= raggio carrucola di massa M 

Il disco ruota in senso orario a causa del momento generato da T1 (negativo) > momento generato da T2 (positivo)

(T2 - T1) * R = (1/2)*M*R² * (-a/R)

T1 - T2 = (1/2)*M*a

Dalla dinamica traslazionale:

P1 - T1= m1*a

T2 - P2 = m2*a

Mettendo a sistema le tre condizioni si ricava il valore dell'accelerazione tangenziale 

a= (P1-P2) /(m1+m2+ (1/2)*M)

Sostituendo i valori numerici otteniamo 

a=1,01 m/s²

Il tempo impiegato a raggiungere la stessa altezza è uguale al tempo necessario affinché ciascuno, partendo da fermo, percorra una distanza d/2=3/2=1,5 m

s= (1/2)*a*t²

t= radice (3) = 1,72 s

Legge oraria della velocità 

wf = w0+ (a/R) * t = (1,01/0,15)*1,72 = 11,6 rad/s