[Risolto] Convergenza di una serie (Analisi)

Ragioniamo sull'ordine di infinito del logaritmo studiando per quale $\alpha$ il limite:

$ lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{ln(x)}{x^{\alpha}} = l \neq 0$ 

Applicando De L'Hopital abbiamo:

$ lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1/x}{\alpha x^{\alpha-1}} = lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{\alpha n^\alpha} = 0 \forall \alpha > 0$

Dunque abbiamo che $ln(x) = o(n^\alpha) \forall \alpha>0$

Nell'usare il criterio del confronto potrai dunque scrivere che:

$ \sum \frac{ln(n)}{n^{3/2}} \leq \sum \frac{n^{\alpha}}{n^{3/2}}=\sum \frac{1}{n^{3/2-\alpha}}  \forall \alpha >0$

Potendo scegliere un $\alpha$ a piacere, possiamo prendere anche il più piccolo $\alpha$ che ci consenta di avere al denominatore una potenza $3/2-\alpha > 1$ e che dunque ci garantisce la convergenza della serie. 

Dunque ci basta scegliere un qualunque $\alpha < 3/2-1 = 1/2$.

Il libro ti suggerisce $\alpha=1/3$ e va benissimo, ma potresti usare anche $\alpha=0.1$ e va bene uguale.

Nello svolgere questo esercizio tieni comunque presente la serie armonica modificata, che ti avrebbe dato una risposta immediata (qui la spiegazione https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/serie-numeriche/754-convergenza-della-serie-armonica.html)

Altrimenti, nel dubbio, potevi usare il criterio del rapporto 🙂

Noemi

La risposta alla tua ultima domanda è SI. non basta confrontare in un modo con una certa altra serie. trovo per lo meno temerario sostituire $ln(n)$ con $n$, in quanto all'infinito i due termini sono molto differenti. 

Prova a guardare questo video, se ti chiarisce le idee:

ln (n)/n^(3/2)

ln x/x^(3/2)

l'ordine di infinitesimo é 3/2 perché ln x é infinito di ordine infinitamente piccolo

1/x^a   con a > 1   converge

Allo stesso risultato si arriva usando il criterio degli integrali.