[Risolto] Continuità, derivabilità e differenziabilità

Verifichiamo la continuità in (0,0) vedendo se:

$ \displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0$

Dunque nel nostro caso:

$\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} e^{\frac{-y^2}{x^4}}\cdot \sqrt[3]{y}$

Nota che l'esponente dell'esponenziale è per forza negativo (dato che in frazione abbiamo solo termini positivi), dunque l'esponenziale è certamente $\leq 1$. Possiamo dunque maggiorare come:

$f(x,y)\leq \sqrt[3]{y}$

Poiché

$\displaystyle \lim_{y \rightarrow 0}\sqrt[3]{y}=0$, uniformemente rispetto a $x$

abbiamo che anche

$\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)=0$

e dunque la funzione è continua in $(0,0)$.

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Consideriamo ora un generico vettore $v(v_1,v_2)$ e calcoliamo il limite:

$\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(tv_1,tv_2)-f(0,0)}{t}= \displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(tv_1,tv_2)}{t}$

dove $f(0,0)=0$ per definizione. Abbiamo quindi:

$\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{tv_2}}{e^{\frac{v_2^2}{t^2v_1^4}}t}=0$

dato che l'esponenziale tende ad infinito più velocemente di qualunque potenza.

Poiché il limite esiste finito, la funzione ha derivate direzionali lungo qualunque direzione.

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L'esistenza delle derivate direzionali non garantisce però la differenziabilità.

Ti ricordo che se $f$ è differenziabile in un punto, allora vale la formula $D_vf(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot v$, ma il viceversa non è valido.

Dobbiamo dunque capire se la funzione sia (o meno) o differenziabile in (0,0).

Sappiamo già che la funzione ha tutte le derivate direzionali, dunque ha anche derivate parziali.

Se queste derivate risultano anche continue, allora la funzione è differenziabile.

Notiamo però che la derivata parziale rispetto a $y$ è:

$f_y(x,y) = e^{-\frac{y^2}{x^2}}\cdot \left(\frac{-2y}{x^2}\right)\sqrt[3]{y}+ e^{-\frac{y^2}{x^2}}\cdot\frac{1}{3\sqrt[3]{y^2}}$

che non è continua in (0,0), dunque la funzione non è differenziabile.