Continuità

Parte I - studio generale

Sicuramente perché il problema sia ben posto deve risultare

x >= 0 ( condizione di esistenza )

1 - x^2 >= 0 ( positività del radicale )

Quindi -1 <= x <= 1 con x >= 0

fornisce 0 <= x <= 1

In questo intervallo la funzione

f(x) = x^2 + xqrt(x) - 1

é continua perché composta di funzioni continue

inoltre f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0

f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0

Pertanto : l'equazione ammette sicuramente almeno una radice

in [0,1] ed é legittimo scegliere come punto di partenza xo = 0.5

Parte II - Utilizzo dell'algoritmo

xo = 0.5 

f(0.5) = - 0.043 

la radice si trova tra 0.5 e 1

x1 = 0.75 

f(0.75) = 0.4285 

la radice si trova tra 0.5 e 0.75 

x2 = 0.625

f(0.625) = 0.1812

la radice si trova tra 0.5 e 0.625 

x3 = 0.5625

f(0.5625) = 0.0664 

la radice si trova tra 0.5 e 0.5625 

la prima cifra decimale allora é 5 

x4 = 0.53125 

f(0.53125) = 0.0111

la radice é tra 0.5 e 0.53125 

x5 = 0.515625 

f(0.515625) = - 0.0161

la radice si trova tra 0.515625 e 0.53125 

x6 = 0.5234375

f(x6) = - 0.0025

la radice si trova tra 0.5234375 e 0.53125

per cui la probabile seconda cifra é 2 : 0.52 

Per confermarlo occorre un'altra iterazione 

x7 = 0.52734 ... 

f(x7) = 0.0043

per cui essendo x compreso fra x6 e x7 

é sicuro che ha come prime cifre 0.52. Fine.

Curiosità : il valore esatto a 12 decimali, trovato con il 

metodo delle tangenti di Newton e portato avanti con WIMS, é

x = 0.524888598656