Continuità

a. 

a.1

Discontinuità eliminabile in x = 0

• • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^- } f(x) = \frac{a}{b} $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+ } f(x) = a $
• per essere eliminabile i due limiti devono essere eguali. $ \frac{a}{b} = a$

a.2

Discontinuità con salto δ = 5

• $ \displaystyle\lim_{x \to 5^- } f(x) = 10 + a $
• $ \displaystyle\lim_{x \to 5^+ } f(x) = 25 + b $

Avremo un salto pari a 5 se:

1. 10+a-(25+b) = 5
2. 25+b-(10+a) = 5 

Si devono considerare due casi:

i) a = 0

Se a = 0 allora $\frac{a}{b} = a$ è vera per ogni b ≠ 0

  i. 1   $ 10-25-b=5 \; ⇒ \; b = -20$

  i. 2   $ 25+b -10 =5 \; ⇒ \; b = -10$

ii) a ≠ 0

Se a ≠ 0 allora dalla $\frac{a}{b} = a$ segue che b = 1

 ii.1   $ 10+a-(25+1) = 5  \; ⇒ \; a = 21$

 ii.2   $ 25+1-(10+a) = 5  \; ⇒ \; a = 11$

Si hanno così 4 soluzioni:

1. $ a = 0 \; \land \; b = -10 $
2. $ a = 0 \; \land \; b = -20 $
3. $ a = 21 \; \land \; b = 1 $
4. $ a = 11 \; \land \; b = 1 $

b. Si tratta di inserire i vari valori di a e b nei tre tratti di f(x).

Per le funzioni g(x) è sufficiente aggiungere gli uguali in un lato della definizione di f(x)

c.