Esercizio 9.
Un vaso di 1,82 kg cade da una mensola posta a 2,8 m di altezza dal pavimento. Determina l'energia potenziale gravitazionale, l'energia cinetica e quella meccanica totale che il vaso nelle seguenti situazioni:
a) quando inizia la caduta.
b) Dopo che ha percorso 1,pm dall'inizio della caduta
c)dopo 2,0m
d) dopo quando arriva a terra(un instante prima dell'auto)
Per risolvere il problema, dobbiamo fare alcuni calcoli usando le formule dell'energia meccanica (energia potenziale e cinetica). Qui sono i dati:
- Massa del vaso m=1,82 kgm = 1,82 \, \text{kg}
- Altezza iniziale h0=2,8 mh_0 = 2,8 \, \text{m}
- Accelerazione gravitazionale g=9,8 m/s2g = 9,8 \, \text{m/s}^2
1. Energia Potenziale Gravitazionale (EP)
L'energia potenziale gravitazionale si calcola con la formula:
EP=mghE_P = mgh
dove hh è l'altezza da cui l'oggetto cade.
2. Energia Cinetica (EC)
L'energia cinetica di un oggetto che sta cadendo si calcola con la formula:
EC=12mv2E_C = \frac{1}{2}mv^2
dove vv è la velocità dell'oggetto, che si può calcolare con la formula della velocità in caduta libera:
v=2ghv = \sqrt{2gh}
3. Energia Meccanica Totale (EM)
L'energia meccanica totale, che è la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale, si conserva durante la caduta (ignorando l'aria e altre forze). In un sistema chiuso, quindi:
EM=EP+ECE_M = E_P + E_C
Adesso calcoliamo le varie situazioni.
a) Quando inizia la caduta (altezza h0=2,8 mh_0 = 2,8 \, \text{m})
- Energia Potenziale iniziale:
EP=mgh0=1,82×9,8×2,8=50,1 JE_P = mgh_0 = 1,82 \times 9,8 \times 2,8 = 50,1 \, \text{J}
- Energia Cinetica iniziale: Poiché il vaso è all'inizio della caduta, la velocità è zero, quindi:
EC=12mv2=0E_C = \frac{1}{2}mv^2 = 0
- Energia Meccanica Totale: Poiché l'energia meccanica si conserva:
EM=EP+EC=50,1+0=50,1 JE_M = E_P + E_C = 50,1 + 0 = 50,1 \, \text{J}
b) Dopo che ha percorso 1,0 m
A questa altezza, l'oggetto ha percorso 1,0 m, quindi la sua altezza è diventata 2,8−1,0=1,8 m2,8 - 1,0 = 1,8 \, \text{m}.
- Energia Potenziale a 1,8 m:
EP=mgh=1,82×9,8×1,8=32,1 JE_P = mgh = 1,82 \times 9,8 \times 1,8 = 32,1 \, \text{J}
- Velocità dopo aver percorso 1,0 m: Utilizziamo la legge di conservazione dell'energia meccanica per calcolare la velocità:
EM=EP+EC(costante)E_M = E_P + E_C \quad \text{(costante)}
Al momento della partenza, l'energia meccanica era 50,1 J. Quindi, dopo aver percorso 1,0 m, l'energia cinetica sarà:
EC=EM−EP=50,1−32,1=18,0 JE_C = E_M - E_P = 50,1 - 32,1 = 18,0 \, \text{J}
Ora possiamo calcolare la velocità:
EC=12mv2⇒18,0=12×1,82×v2E_C = \frac{1}{2}mv^2 \quad \Rightarrow \quad 18,0 = \frac{1}{2} \times 1,82 \times v^2 v2=36,01,82⇒v2=19,78⇒v≈4,45 m/sv^2 = \frac{36,0}{1,82} \quad \Rightarrow \quad v^2 = 19,78 \quad \Rightarrow \quad v \approx 4,45 \, \text{m/s}
- Energia Meccanica Totale (verifica): Poiché l'energia meccanica totale si conserva, rimane:
EM=50,1 JE_M = 50,1 \, \text{J}
c) Dopo 2,0 m
Ora l'altezza è 2,8−2,0=0,8 m2,8 - 2,0 = 0,8 \, \text{m}.
- Energia Potenziale a 0,8 m:
EP=mgh=1,82×9,8×0,8=14,2 JE_P = mgh = 1,82 \times 9,8 \times 0,8 = 14,2 \, \text{J}
- Velocità dopo aver percorso 2,0 m: L'energia cinetica sarà:
EC=EM−EP=50,1−14,2=35,9 JE_C = E_M - E_P = 50,1 - 14,2 = 35,9 \, \text{J}
Ora possiamo calcolare la velocità:
EC=12mv2⇒35,9=12×1,82×v2E_C = \frac{1}{2}mv^2 \quad \Rightarrow \quad 35,9 = \frac{1}{2} \times 1,82 \times v^2 v2=71,81,82⇒v2=39,48⇒v≈6,28 m/sv^2 = \frac{71,8}{1,82} \quad \Rightarrow \quad v^2 = 39,48 \quad \Rightarrow \quad v \approx 6,28 \, \text{m/s}
- Energia Meccanica Totale: Rimane invariata:
EM=50,1 JE_M = 50,1 \, \text{J}
d) Quando arriva a terra (istantaneo prima di toccare il suolo)
Quando il vaso arriva a terra, l'altezza è zero (h=0h = 0).
- Energia Potenziale a terra:
EP=mgh=1,82×9,8×0=0 JE_P = mgh = 1,82 \times 9,8 \times 0 = 0 \, \text{J}
- Energia Cinetica a terra: Poiché tutta l'energia potenziale si è trasformata in energia cinetica, possiamo trovare la velocità finale. L'energia cinetica è tutta l'energia meccanica:
EC=EM=50,1 JE_C = E_M = 50,1 \, \text{J}
Ora calcoliamo la velocità finale:
EC=12mv2⇒50,1=12×1,82×v2E_C = \frac{1}{2}mv^2 \quad \Rightarrow \quad 50,1 = \frac{1}{2} \times 1,82 \times v^2 v2=100,21,82⇒v2=55,1⇒v≈7,43 m/sv^2 = \frac{100,2}{1,82} \quad \Rightarrow \quad v^2 = 55,1 \quad \Rightarrow \quad v \approx 7,43 \, \text{m/s}
- Energia Meccanica Totale: Poiché l'energia meccanica si conserva, è ancora:
EM=50,1 JE_M = 50,1 \, \text{J}
Riepilogo
- a) Inizio della caduta:
EP=50,1 JE_P = 50,1 \, \text{J}, EC=0 JE_C = 0 \, \text{J}, EM=50,1 JE_M = 50,1 \, \text{J} - b) Dopo 1,0 m:
EP=32,1 JE_P = 32,1 \, \text{J}, EC=18,0 JE_C = 18,0 \, \text{J}, EM=50,1 JE_M = 50,1 \, \text{J} - c) Dopo 2,0 m:
EP=14,2 JE_P = 14,2 \, \text{J}, EC=35,9 JE_C = 35,9 \, \text{J}, EM=50,1 JE_M = 50,1 \, \text{J} - d) A terra:
EP=0 JE_P = 0 \, \text{J}, EC=50,1 JE_C = 50,1 \, \text{J}, EM=50,1 JE_M = 50,1 \, \text{J}
