Conseguenze teorema di Lagrange.

$ y(x) = arctan(x) + arctan(\frac{1}{x}) $

• Dominio y(x) = ℝ\{0}

Useremo il corollario delle funzioni costanti basato sul teorema di Lagrange, quindi è necessario considerare due casi separati x > 0 e x < 0.

Calcoliamone la derivata

$ D(y(x)) = \frac{1}{1+x^2} +\frac{x^2}{x^2+1} D(\frac{1}{x}) $

$ D(y(x)) = \frac{1}{1+x^2} +\frac{x^2}{x^2+1} (-\frac{1}{x^2}) $

$ D(y(x)) = \frac{1}{1+x^2} -\frac{1}{x^2+1}  = 0 $

Per "la caratterizzazione delle funzioni costanti" avremo che

$ y(x) = arctan(x) + arctan(\frac{1}{x}) = c \qquad$ con c costante reale.

a. Caso x > 0

Scegliamo un punto positivo a caso, per semplicità prendiamo $ x=1 $

$ c = arctan(1) + arctan(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $

b. Caso x > 0

Scegliamo un punto negativo a caso, per semplicità prendiamo $ x=-1 $

$ c = arctan(-1) + arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} $

y = ATAN(x) + ATAN(1/x)

vale la relazione:

ATAN(α) + ATAN(β) = ATAN(ABS((α + β)/(1 - α·β)))

avendo posto:

α = x

β = 1/x = 1/α

ATAN(x) + ATAN(1/x) = ATAN(ABS((x + 1/x)/(1 - x·(1/x))))

si arriva quindi a scrivere:

ABS(±∞)

per x>0: y=pi/2

per x<0: y=-pi/2

Ma quanti esercizi mandi 

@Alby non far arrabbiare @Alfonso3, patrimonio dell' umanità, te l avrebbe detto mammina tua che in sto sito di matematica non ci si comporta così ? E allora ?