[Risolto] Coniche

Ripasso #1
Assumendo che i coefficienti {a, b, c, d} siano funzioni di un parametro k reale, si ha che il fascio di funzioni omografiche
* Γ(k) ≡ (a*x + b)/(c*x + d)
con la condizione restrittiva
* (|a| + |b| > 0) & (|c| + |d| > 0)
per evitare di discutere su banalità, può rappresentare almeno tre rette più un'infinità di iperboli equilatere con asintoti paralleli agli assi coordinati.
Le rette non banali sono:
1) asintoto verticale: (d = 0) & (x = 0) oppure (d != 0) & (x = - c/d)
2) asintoto orizzontale: (a*d = b*c) & (y = a/c)
3) iperbole degenere: (c = 0) & (y = (a*x + b)/d)
Ripasso #2
Per il teorema dello pseudo Scoto da una premessa falsa si può trarre qualsiasi conclusione, anche falsa.
Tuttavia qualsiasi conclusione tratta da una premessa falsa risulta poco attendibile, anche quelle vere.
Esercizio
A) "se la CE di una iperbole è ad-bc≠0" è una premessa falsa.
Per ottenere iperboli occorre negare tutt'e tre le condizioni che danno una retta, non solo una.
La condizione completa è
* (c != 0) & (d != 0) & (a*d != b*c)
B) Il fascio
* y = (2*x - k)/(x + (k - 2))
ha
* {a, b, c, d} = {2, - k, 1, k - 2}
* (c != 0) & (d != 0) & (a*d != b*c) ≡
≡ (1 != 0) & (k - 2 != 0) & (2*(k - 2) != - k*1) ≡
≡ (k != 2) & (k != 4/3) ≡ k ∉ {4/3, 2}
* asintoto verticale: x = 1/(2 - k)
* asintoto orizzontale: y = 2
* centro: (1/(2 - k), 2)
* luogo dei centri: (y = 2) & (k ∉ {1/2, 4/3, 2})
NOTA
Per k = 1/2 c'è l'asintoto verticale (x = 1/(2 - k) = 2/3 ≡ k = 1/2).

ATTENT*, 4/3 è il valore di k... sul libro c'è il valore di x

se ad-bc=0, 2(k-2)+k=0 3k=4 k=4/3 

sostituendolo ottengo y=(6x-4)/(3x-2) e raccogliendo 2 al numeratore

y=2(3x-2)/(3x-2) per x≠2/3 semplifico e ottengo y=2 (retta degenere della funzione omografica in questione)

il valore 4/3 è il valore di k (non di x) affinchè sia ad-bc≠0. Se poi sostituisci il valore k=4/3 nell'equazione del fascio ottieni l'equazione y =(6x-4)/(3x-2) e semplificando il numeratore e il denominatore con la condizione 3x-2≠0 cioè x≠2/3 ottieni la retta y=2 privata del punto di ascissa x=2/3       y= 2(3x-2)/(3x-2)   si riduce alla retta y=2