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[Risolto] Coniche

  

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Dati i punti $F_1(1 ;-1), F_2(1 ; 3)$ e la retta $d$ di equazione $y=\frac{11}{2}$, dimostra che i seguenti luoghi definiscono la stessa conica.
a. Il luogo dei punti $P$ del piano per i quali $\overline{P F_1}+\overline{P F_2}=6$
b. Il luogo dei punti $Q$ del piano per i quali $\frac{\overline{Q H}}{\overline{Q F_2}}=\frac{3}{2}$, dove $\overline{Q H}$ è la distanza fra $Q$ e la retta $d$.
$$
\left[9(x-1)^2+5(y-1)^2=45\right]
$$

IMG 20240514 121016

buongiorno, mi potreste spiegare come svolgere questo esercizio?

Grazie e buona giornata

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Sino al punto a)

Distanza PF1

[x, y]

[1, -1]

PF1=√((1 - x)^2 + (-1 - y)^2) = √(x^2 - 2·x + y^2 + 2·y + 2)

Distanza PF2

[x, y]

[1, 3]

PF2=√((1 - x)^2 + (3 - y)^2) = √(x^2 - 2·x + y^2 - 6·y + 10)

Quindi:

√(x^2 - 2·x + y^2 + 2·y + 2) + √(x^2 - 2·x + y^2 - 6·y + 10) = 6

√(x^2 - 2·x + y^2 + 2·y + 2) = 6 - √(x^2 - 2·x + y^2 - 6·y + 10)

elevo al quadrato:

x^2 - 2·x + y^2 + 2·y + 2 =

=- 12·√(x^2 - 2·x + y^2 - 6·y + 10) + x^2 - 2·x + y^2 - 6·y + 46

12·√(x^2 - 2·x + y^2 - 6·y + 10) = 44 - 8·y

elevo al quadrato:

144·(x^2 - 2·x + y^2 - 6·y + 10) = 64·y^2 - 704·y + 1936

144·x^2 - 288·x + 144·y^2 - 864·y + 1440+

- (64·y^2 - 704·y + 1936) = 0

144·x^2 - 288·x + 80·y^2 - 160·y - 496 = 0

9·x^2 - 18·x + 5·y^2 - 10·y - 31 = 0

(9·x^2 - 18·x + 9) + (5·y^2 - 10·y + 5) - (31 + 9 + 5) = 0

9·(x - 1)^2 + 5·(y - 1)^2 = 45

 



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SOS Matematica

4.6
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