[Risolto] Coniche

Ogni parabola Γ con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* vertice V(w, h)
* apertura a != 0
ha
* equazione Γ ≡ y = a*(x - w)^2 + h
* pendenza m(x) = 2*a*(x - w)
------------------------------
La parabola Γ0 ha
* equazione Γ0 ≡ y = x^2 - 4*x + 3 ≡ y = (x - 1)*(x - 3) ≡ y = (x - 2)^2 - 1
* pendenza m(x) = 2*(x - 2)
==============================
Le condizioni poste sulla parabola richiesta impongono i seguenti vincoli.
---------------
Il passaggio per i due zeri
* A(- 2, 0), B(1, 0)
determina l'ascissa dell'asse, e quindi del vertice, come media fra quelle degli zeri
* w = (- 2 + 1)/2 = - 1/2
da cui
* Γ ≡ y = a*(x + 1/2)^2 + h
---------------
inoltre
* passaggio per A(- 2, 0): 0 = a*(- 2 + 1/2)^2 + h
* passaggio per B(1, 0): 0 = a*(1 + 1/2)^2 + h
* (0 = a*(- 2 + 1/2)^2 + h) & (a*(1 + 1/2)^2 + h) ≡ h = - (9/4)*a
da cui
* Γ ≡ y = a*(x + 1/2)^2 - (9/4)*a
---------------
* tangenza con Γ0 [eguale pendenza]: 2*a*(x + 1/2) = 2*(x - 2) ≡ (a != 1) & (x = X = (a + 4)/(2*(1 - a)))
* tangenza con Γ0 [punto X comune]: a*(X + 1/2)^2 - (9/4)*a = (X - 1)*(X - 3) ≡
≡ (a != 1) & (a*((a + 4)/(2*(1 - a)) + 1/2)^2 - (9/4)*a = ((a + 4)/(2*(1 - a)) - 1)*((a + 4)/(2*(1 - a)) - 3)) ≡
≡ a = - 2/3
da cui
* Γ ≡ y = (- 2/3)*(x + 1/2)^2 - (9/4)*(- 2/3) ≡ y = - (2/3)*(x + 2)*(x - 1)