[Risolto] Conica

@alfonso3

Ciao di nuovo.

Dai punti dati, ottengo il disegno allegato:

Quindi ho immaginato che la conica data sia una iperbole di equazione:

x^2 - y^2 + a·x + b·y + c = 0

Quindi un'iperbole con centro sotto P (quindi con x=2) ad una certa quota y.

Impongo il passaggio di tale iperbole per i punti dati:

{0^2 - (-1)^2 + a·0 + b·(-1) + c = 0

{0^2 - 2^2 + a·0 + b·2 + c = 0

{4^2 - 2^2 + a·4 + b·2 + c = 0

quindi con un sistema lineare in a, b e c, risolvo subito il problema:

{b - c = -1

{2·b + c = 4

{4·a + 2·b + c = -12

Risolvo ed ottengo:[a = -4 ∧ b = 1 ∧ c = 2]

Equazione:  x^2 - y^2 - 4·x + y + 2 = 0

Posso verificare ora che i punti di tangenza stiano sull'asse delle x  attraverso il sistema:

{x^2 - y^2 - 4·x + y + 2 = 0

{y - 4 = m·(x - 2)

quindi attraverso la sostituzione:  y = m·x - 2·m + 4

si perviene ad un'equazione di 2° grado in x nel parametro m:

x^2·(1 - m^2) + x·(4·m^2 - 7·m - 4) - 2·(2·m^2 - 7·m + 5) = 0

Imponendo la condizione di tangenza:

Δ = 0-----> (4·m^2 - 7·m - 4)^2 + 8·(1 - m^2)·(2·m^2 - 7·m + 5) = 0

si perviene ad: m = - 2·√2 ∨ m = 2·√2

che permetterà di verificare i punti di tangenza in D ed E di figura (il calcolo lo puoi fare anche tu)

x = 2 - √2----> y=0

x = √2 + 2-----> y=0

Dalla forma normale canonica dell'equazione di una generica conica
* Γ ≡ A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0
si ricava la retta p, polare del polo P(2, 4), applicando le formule di sdoppiamento
* p ≡ A*2*x + B*(4*x + 2*y)/2 + C*4*y + D*(2 + x)/2 + E*(4 + y)/2 + F = 0 ≡
≡ y = - ((4*A + 4*B + D)/(2*B + 8*C + E))*x - 2*(D + 2*E + F)/(2*B + 8*C + E)
che è l'asse x se e solo se
* (4*A + 4*B + D = 0) & (D + 2*E + F = 0) & (2*B + 8*C + E != 0) ≡
≡ (D = - 4*(A + B)) & (E = (4*A + 4*B - F)/2) & (F != 4*(A + 2*B + 4*C))
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All'equazione
* Γ ≡ A*x^2 + B*x*y + C*y^2 - 4*(A + B)*x + ((4*A + 4*B - F)/2)*y + F = 0
si applicano le tre condizioni d'appartenenza
* A(0, - 1): - 2*A - 2*B + C + (3/2)*F = 0
* B(0, 2): 4*(A + B + C) = 0
* C(4, 2): 4*(A - B + C) = 0
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Il sistema dei vincoli imposti dalle quattro condizioni
* (- 2*A - 2*B + C + (3/2)*F = 0) & (A + B + C = 0) & (A - B + C = 0) & (F != 4*(A + 2*B + 4*C)) ≡
≡ (A != 0) & (B = 0) & (C = - A) & (F = 2*A)
determina la singola iperbole equilatera
* Γ ≡ x^2 - y^2 - 4 x + y + 2 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 - (y - 1/2)^2 = 7/4 ≡
≡ ((x - 2)/(7/4))^2 - ((y - 1/2)/(7/4))^2 = 1
con
* centro (2, 1/2)
* assi di simmetria paralleli agli assi coordinati
* fuochi sull'asse y = 1/2
* semiassi a = b = 7/4