[Risolto] compito

@frnacesca
Appena passate le ore 15 mi faccio vivo, mi trovi non appena arrivi a casa.
Sai come si scrive il tuo nome? Evidentemente no! Si scrive "Francesca" con effe maiuscolo ed "an" al posto di "na".
Sai come si chiama la conica? Evidentemente no! Si chiama "ellisse" con elle doppia.
Sai come si usa l'interpunzione? Evidentemente no! Altrimenti avresti messo un accapo dopo "vettore v" e magari anche un punto.
Hai qualche nozione di geometria analitica? Penso di sì, ma temo che non siano molto salde; perciò ti propinerò un mini ripasso sulle ellissi.
Passo subito al tuo COMPITO, prima il ripasso e poi l'esercizio.
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La generica ellisse reale non degenere, nel riferimento Oxy, è descritta da un'equazione e da tre disequazioni sui sei coefficienti di questa
* Γ ≡ A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0
* ((4*A*C*F + B*D*E) != (A*E^2 + F*B^2 + C*D^2)) & (4*A*C > B^2) & ((A + C)*(4*A*C*F - A*E^2 - F*B^2 + B*D*E - C*D^2) < 0)
che si riducono a imporre che siano non nulli e concordi i coefficienti dei quadrati e due condizioni equivalenti sul termine noto
* (A < 0) & (C < B^2/(4*A) < 0) & (F > (A*E^2 + C*D^2 - B*D*E)/(4*A*C - B^2))
oppure
* (A > 0) & (C > B^2/(4*A) > 0) & (F < (A*E^2 + C*D^2 - B*D*E)/(4*A*C - B^2))
ma, essendo comunque lecito moltiplicare per meno uno ambo i membri, si può considerare la sola seconda condizione.
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Se gli assi di simmetria sono paralleli a quelli coordinati manca il termine rettangolare e, con B = 0, la rappresentazione si semplifica un bel po'
* Γ ≡ A*x^2 + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0
* (A > 0) & (C > 0) & (F < (A*E^2 + C*D^2)/(4*A*C))
e perciò, salve le condizioni di ellitticità reale, si può riscrivere la forma normale canonica nella più informativa forma normale standard da cui rilevare le lunghezze dei semiassi e le coordinate del centro.
* Γ ≡ A*x^2 + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0 ≡
≡ A*(x^2 + (D/A)*x) + C*(y^2 + (E/C)*y) + F = 0 ≡
≡ A*((x + D/(2*A))^2 - (D/(2*A))^2) + C*((y + E/(2*C))^2 - (E/(2*C))^2) + F = 0 ≡
≡ A*(x + D/(2*A))^2 + C*(y + E/(2*C))^2 - A*(D/(2*A))^2 - C*(E/(2*C))^2 + F = 0 ≡
≡ A*(x + D/(2*A))^2 + C*(y + E/(2*C))^2 = ((A*E^2 + C*D^2)/(4*A*C) - F) = k^2 > 0 ≡
≡ (x + D/(2*A))^2/(k^2/A) + (y + E/(2*C))^2/(k^2/C) = 1 ≡
≡ ((x + D/(2*A))/(k/√A))^2 + ((y + E/(2*C))/(k/√C))^2 = 1
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Nell'equazione della generica ellisse reale non degenere, con assi di simmetria paralleli a quelli coordinati, in forma normale standard
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
ci sono quattro parametri: coordinate del centro C(α, β) e semiassi (a, b).
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Il vettore di traslazione v(r, s) è un vettore libero perché deve agire su ciascun punto del piano Oxy in modo da muoverlo rigidamente e trasformarlo in ΩXY; se applicato con la cocca nell'origine O(0, 0) di Oxy la trasla nella propria punta
* V(r, s) ≡ Ω(0, 0), origine del riferimento ΩXY traslato.
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Il vettore di traslazione v(1, 3), se applicato con la cocca nell'origine O(0, 0) di Oxy la trasla nella propria punta V(1, 3) ≡ Ω(0, 0), origine di ΩXY traslato.
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L'ellisse data
* Γ ≡ "x^2/5 + y^2/12 =1" ≡ ((x - 0)/√5)^2 + ((y - 0)/√12)^2 = 1
è centrata nell'origine O(0, 0) di Oxy ed ha semiassi (a, b) = (√5, √12).
L'applicazione di v(1, 3) sposta il piano parallelamente a se stesso fino a portare l'origine in V(1, 3) ≡ Ω(0, 0), origine di ΩXY traslato.
Ma l'origine O(0, 0) è anche centro di Γ, così infine
* Γ ≡ "x^2/5 + y^2/12 =1" + v(1, 3) →
→ Γ' ≡ ((x - 1)/√5)^2 + ((y - 3)/√12)^2 = 1
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Questi scarsi 3000 caratteri avresti dovuto studiarli due o tre giorni PRIMA del compito, non sei stata previdente.

Stai forse facendo il compito in classe? 😳 spero di no…

Il problema é che la parola "compito" a quest'ora farà scappare tutti. Ne riparliamo alle 2.

@frnacesca

Ciao e benvenuta. Ogni punto dell'ellisse dovrà traslare del vettore dato.

Si tratterrà quindi di fare le sostituzioni:

x------> x-1

y------>y-3

x^2/5 + y^2/12 = 1-------> (x - 1)^2/5 + (y - 3)^2/12 = 1