compito di realtà

tempo di percorrenza : nelle unità considerate, t = 1000/v

per cui, prendendo la funzione composta, potremo dire che

r(t) = r(v) = 2500/(2 + 1000/v) = 2500 v/(2v + 1000) = 1250 v/(v + 500)

g(v) = r - c = 1250v /(v + 500) - 100 - v/2 = [2500v - 200(v + 500) - v(v + 500)]/(2v + 1000) =

= (1800 v - 100000 - v^2)/(2v + 1000)

La condizione di guadagno é

v^2 - 1800v + 100000 < 0

v1,2 = (900 +- rad(810000-100000)) = (900 +- 842.6)

e prendendo l'intervallo interno 57.4 < v < 1742.6 km/h approssimativamente

Per il secondo quesito non conosco procedimenti elementari, si dovrebbero usare

le derivate. Comunque il grafico é questo

https://www.desmos.com/calculator/d03zhp7nho

da cui si evince v* = 618 km/h.

 

 

Aggiornamento : nota sull'analisi con derivata.

Questo non ti serve, lo metto solo per conferma.

 

g'(v) : segno

(-2v + 1800)(2v + 1000) - 2(-v^2 + 1800 v - 100000) >= 0

- 4v^2 + 1600 v + 1800000 + 2v^2 - 3600 v + 200000 >= 0

- 2 v^2 - 2000 v + 2000000 >= 0

v^2 + 1000 v - 1000000 <= 0

(v/1000)^2 + v/1000 - 1 <= 0 intervallo interno

il punto di massimo coincide con v/1000 = phi

( sezione aurea, che é la radice positiva di u^2 + u - 1 = 0 )

per cui v*= 1000 phi km/h ~ 618 km/h

VOLARE IN ATTIVO
* lunghezza della tratta L = 1000 km
* costo c(v) = 100 + v/2 €, alla velocità di v km/h
* ricavo r(t) = 2500/(t + 2) €, per un volo durato t ore
dalla definizione di velocità media
* v = (1000 km)/(t ore) = 1000/t km/h
si calcolano successivamente
* t = 1000/v ore
* ricavo r(t) = 2500/(t + 2) ≡
≡ r(1000/v) = 2500/(1000/v + 2) = 1250*v/(v + 500) €
* guadagno g(v) = r(1000/v) - c(v) ≡
≡ g(v) = 1250*v/(v + 500) - (100 + v/2) ≡
≡ g(v) = - (v^2 - 1800*v + 100000)/(2*(v + 500))
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a) "Per quali valori di v la compagnia non è in perdita lungo la tratta in questione?"
* g(v) >= 0 ≡
≡ ((g(v) = 0) oppure (g(v) > 0)) & (v > 0) ≡
≡ (v^2 - 1800*v + 100000 = 0) & (v > 0) oppure (- (v^2 - 1800*v + 100000)/(2*(v + 500)) > 0) & (v > 0) ≡
≡ (v = 100*(9 - √71) ~= 57) oppure (v = 100*(9 + √71) ~= 1743) oppure (v^2 - 1800*v + 100000 < 0) & (v > 0) ≡
≡ 100*(9 - √71) ~= 57 <= v <= 100*(9 + √71) ~= 1743 km/h
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b) "Traccia per punti un grafico approssimato del guadagno e stima il valore di v per il quale il guadagno è massimo."
MAMMA MIA! SONO CAUTELE DA ANNI SETTANTA, siamo nel 2022! Riformulo.
b) Calcolare la velocità di massimo guadagno e graficare g(v).
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La funzione di guadagno (y) della velocità (x > 0) ha la forma
* y = - (x^2 - 1800*x + 100000)/(2*(x + 500)) ≡
≡ 2*(x + 500)*y + (x^2 - 1800*x + 100000) = 0 ≡
≡ Γ ≡ x^2 + 2*x*y - 1800*x + 1000*y + 100000 = 0
che è un'iperbole centrata in C(- 500, 1400) con asintoti
* a1 ≡ x = - 500
* a2 ≡ y = 1400 - (x + 500)/2
e zeri quelli già visti
≡ X1 = 100*(9 - √71) ~= 57
≡ X2 = 100*(9 + √71) ~= 1743
quindi il grafico d'interesse è nell'intervallo 0 < x < 1750, per y < a2.
Il massimo (0 < h < 1400 - (x + 500)/2) si determina facendo sistema fra una generica parallela all'asse x e l'iperbole e imponendo che la risolvente abbia discriminante nullo, poi per la minore delle radici h trovate (quella del ramo in x > - 500) determinare a quale ascissa corrisponda
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* (y = h) & (x^2 + 2*x*y - 1800*x + 1000*y + 100000 = 0) →
→ x^2 + 2*x*h - 1800*x + 1000*h + 100000 = 0 →
→ (Δ(h) = 4*h^2 - 11200*h + 2840000 = 0) & (h > 0) ≡
≡ (h = 100*(14 - 5*√5) ~= 282) oppure (h = 100*(14 + 5*√5) ~= 2518)
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* (y = 100*(14 - 5*√5)) & (x^2 + 2*x*y - 1800*x + 1000*y + 100000 = 0) ≡
≡ x = 500*(√5 - 1) ~= 618
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RISULTATO #1
La velocità di massimo guadagno è di circa 618 km/h per un guadagno di circa 282 €
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RISULTATO #2 al link
http://www.wolframalpha.com/input?key=&i=%5Bx%5E2+%2B+2*x*y+-+1800*x+%2B+1000*y+%2B+100000+%3D+0%2C%28x+-+500*%28%E2%88%9A5+-+1%29%29*%28y+-+100*%2814+-+5*%E2%88%9A5%29%29*%28y+-+1150+%2B+x%2F2%29%3D0%5Dx%3D0to1800%2Cy%3D0to1300