[Risolto] Coltivazioni in serra - Iperbole Geometria Analitica

Sino all'equazione del ramo di iperbole AD

Le coordinate di A sono: [4, -6]

Le coordinate di D sono: [-4, -6] per simmetria rispetto asse delle y. Verifichiamolo:

3·y - 4·x + 2 = 0 passa per D ed è tangente al ramo di iperbole cercato

3·(-6) - 4·(-4) + 2 = 0---> 0 = 0 :  OK

L'iperbole completa è del tipo:

x^2/α - y^2/β = -1

Il suo ramo inferiore passa da: [4, -6]

Quindi:

4^2/α - (-6)^2/β = -1

16/α - 36/β = -1---> β = 36·α/(α + 16)

Quindi abbiamo un solo parametro da terminare, cioè α :

x^2/α - y^2/(36·α/(α + 16)) = -1

Quindi mettiamo a sistema:

{x^2/α - y^2·(α + 16)/(36·α) = -1

{3·y - 4·x + 2 = 0

che risolviamo per sostituzione:

y = 2·(2·x - 1)/3

x^2/α - (2·(2·x - 1)/3)^2·(α + 16)/(36·α) + 1 = 0

Facendo le dovute semplificazioni si arriva a scrivere.

(x^2·(17 - 4·α) + 4·x·(α + 16) + 16·(5·α - 1))/(81·α) = 0

Quindi:

x^2·(17 - 4·α) + 4·x·(α + 16) + 16·(5·α - 1) =0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(2·(α + 16))^2 - (17 - 4·α)·(16·(5·α - 1)) = 0

324·α^2 - 1296·α + 1296 = 0

324·(α - 2)^2 = 0

Risolvo ed ottengo : α = 2

quindi : β = 36·2/(2 + 16)---> β = 4

equazione:

x^2/2 - y^2/4 = -1

Per il ramo di iperbole cercato AD risolvo l'equazione rispetto a y:

y = - √2·√(x^2 + 2) ∨ y = √2·√(x^2 + 2)

Quindi : y = - √2·√(x^2 + 2)