[Risolto] Circonferenze ed ellissi

1)

Rappresenta una circonferenza se i termini dei coefficienti dei termini quadratici sono uguali e concordi, il raggio maggiore o uguale a zero (circonferenza degenera in un punto)

 

- la prima equazione NON RAPPRESENTA UNA CIRCONFERENZA (IPERBOLE) : i coefficienti dei termini quadratici sono discordi 

 

- la seconda equazione NON RAPPRESENTA UNA CIRCONFERENZA poiché R=radice (1/2 - 1) < 0

 

- la terza equazione RAPPRESENTA LA CIRCONFERENZA di centro O=(0;0) e raggio R=1

 

2)

Se conosci il centro della circonferenza e sai che la conica è tangente all'asse y, sai anche che il raggio è il modulo dell'ascissa del centro. 

R=|-1| = 1

C= (-1 ; - 3)

(x+1)²+(y+3)²=1

x²+y²+2x+6y+9=0

 

3)

Metti a sistema l'equazione della bisettrice (y=x) con l'equazione della conica data e determini i punti di intersezione. Utilizzando la formula della distanza tra due punti determini la lunghezza della corda. 

4)

Determini la distanza del centro C della circonferenza dalla retta tangente e sai che la distanza è il raggio.

 

5)

https://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-analitica/445-ellisse-nel-piano-cartesiano.html  

 

a= radice (40) = 2*radice (10)

b= 2

I fuochi della conica sono quindi punti sull'asse x

 

e= radice (a²-b²) /a = 6/(2* radice 10) = 3/radice (10)

 

Basta applicare le formule 

 

6) 

La circonferenza passa per l'origine e quindi c=0

Il centro è sull'asse y => xC= 0   => a=0

È tangente all'asse x => l'ordinata del centro è uguale al raggio  

- b/2 = 2 => b= - 4

R=2

 

L'equazione della conica è: 

(x-0)²+(y-2)²=4

x²+y²-4y=0

 

Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
Viceversa: se un'equazione di secondo grado in (x, y) si può ridurre a tale forma normale essa rappresenta una circonferenza di centro C(a, b) raggio r = √q; se q è zero la circonferenza degenera su C; se q è negativo la circonferenza ha raggio immaginario e si può spezzare in due rette complesse il cui unico punto reale è C.
Tutti i punti del tuo esercizio sono prove applicative per verificare se conosci quanto sopra, se l'hai ben compreso, se e quanto sei capace di usare la tua conoscenza e la tua comprensione su un caso concreto e per giudicare in che modo le usi.
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Punto 1
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1a) 3*x^2 + 3*x + 3*y = 3*y^2 + 3 ≡
≡ (x + 1/2)^2 - (y - 1/2)^2 = 1
circonferenza reale di centro C(- 1/2, 1/2) e raggio r = 1
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1b) 3*x^2 + 3*x + 3*y = - 3*y^2 - 3 ≡
≡ (x + 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 = - 1/2
circonferenza immaginaria di centro C(- 1/2, - 1/2) e raggio r = i/√2
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1c) 3*x^2 = - (3*y^2 - 3) ≡
≡ x^2 + y^2 = 1
circonferenza reale di centro C(0, 0) e raggio r = 1
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Punto 2
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"di centro C(- 1, - 3)" vuol dire
* Γ ≡ (x + 1)^2 + (y + 3)^2 = q = r^2
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"tangente l'asse y" vuol dire r = |- 1 - 0| = 1, quindi
* Γ ≡ (x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 1
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Punto 3
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"bisettrice dei quadranti pari" vuol dire y = - x
* (y = - x) & (x^2 + y^2 - 4*x + 7*y = 0) ≡
≡ (y = - x) & ((x - 2)^2 + (y + 7/2)^2 = 65/4) ≡
≡ (y = - x) & ((x - 2)^2 + (- x + 7/2)^2 = 65/4) ≡
≡ (y = - x) & ((x = 0) oppure (x = 11/2)) ≡
≡ O(0, 0) oppure P(11/2, - 11/2)
* |OP| = √((11/2 - 0)^2 + (- 11/2 - 0)^2) = 11/√2
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Punto 4
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La distanza da C(4, - 2) alla retta y = x + 2 è il raggio
* r = 4*√2
quindi
* Γ ≡ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = (4*√2)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 8*x + 4*y - 12 = 0
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Punto 5
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L'ellisse centrata nell'origine
* x^2/10 + y^2 = 4 ≡
≡ x^2/40 + y^2/4 = 1 ≡
≡ (x/(2*√10))^2 + (y/2)^2 = 1
ha semiassi
* a = 2*√10 > 2 = b
quindi fuochi sull'asse x, semidistanza focale
* c = √(a^2 - b^2) = √(40 - 4) = 6
quindi fuochi F(± 6, 0), eccentricità
* e = c/a = 3/√10
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Punto 6
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Non essendo dichiarati, sui "coefficienti a, b, c" nulla può dirsi di sensato.
Dando agio alle insensatezze si può ragionevolmente ipotizzare (ma in sede d'esame ciò provocherebbe bocciatura, in quanto ipotesi semplificativa) un riferimento alla forma normale canonica
* Γ ≡ x^2 + y^2 + p*x + q*y + r = 0
su un libro in cui i generici parametri {p, q, r} siano chiamati "coefficienti a, b, c".
In quest'ipotesi del tutto arbitraria la figura che dice
* Γ ≡ (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 4*y = 0
avrebbe {p, q, r} = {0, - 4, 0} e il "perché" richiesto sarebbe «Per aver trasformato la forma dell'equazione da standard a canonica.»