La circonferenza inscritta al poligono (perché il poligono è circoscritto) è tangente ai punti medi dei lati perché il poligono è regolare. Prendi per esempio un esagono regolare e dentro ci costruisci la mini circonferenza che tocca tutti i suoi lati. A questo punto dividi poligono in triangoli collegando il centro del poligono con i suoi vertici. Trovi tanti triangoli quanti sono i lati, che nell esempio dell esagono sono sei, ma questo non ha importanza. Ora immagina di tagliare tutti questi triangoli e di metterli uno vicino all altro con la base (cioè il lato del poligono) rivolta verso il basso, praticamente ottieni una specie di sega con tante punte quanti i lati, pensa sempre all esempio dell esagono o di un altro poligono che ti piace. Ora immagina di fare una fotocopia di questa figura la capovolgi e la incastri su quella di prima in modo da far toccare più lati possibile, così hai ottenuto un parallelogramma (che ha il doppio dell area del poligono, che era la somma della aree dei triangoli), (non ti faccio il disegno perché è utile che tu riesca a fartelo da solo/a).
Ebbene questo parallelogramma ha come base il perimetro del poligono e come altezza il raggio della circonferenza. Ricordando che però questa figura ha area doppia rispetto a quella che cercavano basta dividere per due.
per il primo problema basta fare perimetro*raggio/2 mentre per il secondo dove ti viene dato il diametro della circonferenza e non il raggio devi dividere per due un’ulteriore volta quindi