[Risolto] CIRCONFERENZA

x^2 + y^2 + k·x - (k + 4)·y + 2·k - 4 = 0

Riscrivo:

k·(x - y + 2) + x^2 + y^2 - 4·y - 4 = 0

Punti base:

{x - y + 2 = 0

{x^2 + y^2 - 4·y - 4 = 0

Risolvo: [x = 2 ∧ y = 4, x = -2 ∧ y = 0]

---------------------------------------

Punto A: [-2, 0]

Punto B: [2, 4]

Il luogo dei centri del fascio (asse centrale) è riconoscibile dai coefficienti a e b :

[- k/2, (k + 4)/2]

{x = - k/2

{y = (k + 4)/2

Dalla prima ottengo: k = - 2·x

quindi per sostituzione:

y = (- 2·x + 4)/2----> y = 2 - x (asse centrale)

--------------------------------------

{x^2 + y^2 + k·x - (k + 4)·y + 2·k - 4 = 0

{y = 0

x^2 + 0^2 + k·x - (k + 4)·0 + 2·k - 4 = 0

x^2 + k·x + 2·k - 4 = 0

condizione di tangenza: Δ = 0

k^2 - 4·(2·k - 4) = 0----> k^2 - 8·k + 16 = 0

(k - 4)^2 = 0-----> k = 4

x^2 + y^2 + 4·x - (4 + 4)·y + 2·4 - 4 = 0

x^2 + y^2 + 4·x - 8·y + 4 = 0

od anche:

(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 16

------------------------------------

Considerazione
Le circonferenze del fascio
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + k*x - (k + 4)*y + 2*k - 4 = 0 ≡
≡ (x + k/2)^2 + (y - (k + 4)/2)^2 = (k^2 + 16)/2
hanno
* raggio r(k) = √((k^2 + 16)/2) >= r(0) = 2*√2 > 0 (quindi nessuna è degenere o immaginaria)
* centro C(- k/2, (k + 4)/2)
------------------------------
Risposte ai quesiti
---------------
a) Γ(0) & Γ(1) ≡ (x^2 + (y - 2)^2 = 8) & ((x + 1/2)^2 + (y - 5/2)^2 = 17/2) ≡
≡ A(- 2, 0) oppure B(2, 4)
L'asse radicale, AB ≡ y = 2 + x, è parallelo alla bisettrice dei quadranti dispari.
---------------
b) (x = - k/2) & (y = (k + 4)/2) ≡
≡ (k = - 2*x) & (y = 2 - x)
L'asse centrale, y = 2 - x, è parallelo alla bisettrice dei quadranti pari e incrocia l'asse radicale in H(0, 2).
---------------
c) Le eventuali Γ(k) tangenti l'asse x hanno
* r(k) = yC ≡ √((k^2 + 16)/2) = (k + 4)/2 ≡ k = 4
da cui
* Γ(4) ≡ γ ≡ (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 16
---------------
d1) Il punto S(X, Y), simmetrico del generico P(x, y) rispetto all'asse radicale AB di cursore R(u, 2 + u), dev'essere tale che il punto medio M del segmento PS abbia ordinata superiore di due all'ascissa
* M = (P + S)/2 = ((x, y) + (X, Y))/2 = ((x + X)/2, (y + Y)/2)
cioè
* (y + Y)/2 = 2 + (x + X)/2
e inoltre la retta PS deve avere pendenza m = - 1, antinversa di quella della retta AB, cioè
* y - Y = X - x
da cui
* ((y + Y)/2 = 2 + (x + X)/2) & (y - Y = X - x) ≡
≡ (x = Y - 2) & (y = X + 2)
quindi
* γ' ≡ (y - 2 + 2)^2 + (x + 2 - 4)^2 = 16 ≡ x^2 + y^2 - 4*x - 12 = 0
---------------
d2) x^2 + y^2 - 4*x - 12 = x^2 + y^2 + k*x - (k + 4)*y + 2*k - 4 ≡ k = - 4
Sì, γ' ≡ Γ(- 4).
---------------
e) L'area S della zona ogivale, quasi una mandorla romanica, comune a due cerchi di raggio r = 4 è il doppio di quella S(sc) del segmento circolare minore individuato dalla corda AB lunga c = 4*√2.
Per poter applicare la formula dell'area del segmento circolare
* S(sc) = (r^2)*arccos(1 - h/r) - d*√(r^2 - d^2)
occorre determinare una misura fra l'altezza h del segmento e/o la distanza d della corda dal centro, visto che d + h = r
Dalla relazione pitagorica
* r^2 = d^2 + (c/2)^2 ≡ 4^2 = d^2 + (4*√2/2)^2
si hanno
* d = 2*√2
* h = 4 - 2*√2
* S = 2*((4^2)*arccos(1 - (4 - 2*√2)/4) - (2*√2)*√(4^2 - (2*√2)^2)) =
= 2*(16*arccos(1/√2) - (2*√2)*√8) =
= 2*(16*π/4 - 8) =
= 8*π - 16