circonferenza

{x^2 + y^2 + 8·x + 6·y + 20 = 0

{y - 4 = m·(x + 3)

procedo per sostituzione: y = m·x + 3·m + 4

x^2 + (m·x + 3·m + 4)^2 + 8·x + 6·(m·x + 3·m + 4) + 20 = 0

x^2·(m^2 + 1) + 2·x·(3·m^2 + 7·m + 4) + 9·m^2 + 42·m + 60 = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(3·m^2 + 7·m + 4)^2 - (m^2 + 1)·(9·m^2 + 42·m + 60) = 0

4·m^2 + 14·m - 44 = 0

2·(m - 2)·(2·m + 11) = 0

m = - 11/2 ∨ m = 2

quindi:

y = (- 11/2)·x + 3·(- 11/2) + 4----> y = - 11·x/2 - 25/2

y = 2·x + 3·2 + 4----> y = 2·x + 10

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r = √(α^2 + β^2 - c)

x^2 + y^2 + 8·x + 6·y + 20 = 0

r = √((-4)^2 + (-3)^2 - 20)-----> r = √5

y = m·x + 3·m + 4----> m·x - y + 3·m + 4 = 0

√5 = ABS(- 4·m - (-3) + 3·m + 4)/√(m^2 + (-1)^2)

√5 = ABS(m - 7)/√(m^2 + 1)

5 = (m - 7)^2/(m^2 + 1)

m = - 11/2 ∨ m = 2

poi come l'altro metodo generale.

 

Scrivere le equazioni delle rette tangenti la circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 8*x + 6*y + 20 = 0 ≡ (x + 4)^2 + (y + 3)^2 = (√5)^2
tirate dal punto P(- 3, 4).
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A) Sdoppiare rispetto al polo P la forma normale canonica di Γ per ottenere la retta p polare di P.
* p ≡ x*(- 3) + y*4 + 8*(x - 3)/2 + 6*(y + 4)/2 + 20 = 0 ≡ y = (- x - 20)/7
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B) Risolvere il sistema dei punti comuni a Γ e p.
* p & Γ ≡ (y = (- x - 20)/7) & ((x + 4)^2 + (y + 3)^2 = 5) ≡
≡ Q(- 6, - 2) oppure R(- 9/5, - 13/5)
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C) Aver ottenuto R e Q reali e distinti indica due cose:
C1) il polo P è esterno alla conica Γ (è là dov'è rivolta la convessità di Γ);
C2) R e Q sono i punti di tangenza delle tangenti tirate da P.
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D) Scrivere le richieste equazioni, delle congiungenti polo e punti di tangenza.
* PR ≡ y = 4 - 11*(x + 3)/2
* PQ ≡ y = 4 + 2*(x + 3)