[Risolto] Circonferenza

Equazione della circonferenza generica:  

x^2 + y^2 + αlfa x + βeta y + gamma = 0;

Sostituisci le coordinate x; y dei tre punti e trovi alfa, beta e gamma nell'equazione.

A(0; 0); B ( 1; 3); C(5;0)

0 + 0 + 0 + 0 + gamma = 0; (A)

1 + 9 + alfa + 3 beta + gamma = 0; (B)

25 + 0 + 5 alfa + 0 + gamma = 0;  (C)

 

gamma = 0. (A)

10 + alfa + 3 beta = 0; (B)

25 + 5 alfa  = 0; (C),

alfa = - 25 / 5 = - 5; (dalla C);

10 - 5 + 3 beta = 0; (B);

5 + 3 beta = 0;

beta = - 5/3;

circonferenza:

x^2 + y^2 -5x -5/3y = 0

 

Esempio nel sito:

https://www.youmath.it/forum/geometria-analitica/12735-equazione-di-una-circonferenza-passante-per-tre-punti.html;

Quando hai trovato i valori di alfa, beta e gamma, ricavi le coordinate del centro e il raggio.

Coordinate del centro C (xC ; yC):

C =  (-alfa/2; - beta/2);

gamma = xC^2 + yC^2 - raggio^2.

Ciao @jane17

"come determinare l'equazione della circonferenza?"
APPLICANDO LA DEFINIZIONE.
La circonferenza è definita come un luogo geometrico piano, l'insieme di tutti e soli i punti P(x, y) del piano che godono della stessa proprietà: per la circonferenza tale proprietà è di essere a distanza "r" (come raggio) da un punto fisso "C" (come centro).
Poiché la distanza fra due punti dello stesso piano si calcola col Teorema di Pitagora (il quadrato della differenza fra le ascisse più il quadrato della differenza fra le ordinate è il quadrato della distanza, ipotenusa del caso) allora si ha che nell'equazione della generica circonferenza Γ in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si determina l'equazione della circonferenza calcolando i tre parametri (a, b, q).
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"come determinare l'equazione della circonferenza per tre punti PQR dati?"
Calcolando i quadrati delle distanze dei punti noti dal centro incognito
* q = |CP|^2 = (xP - a)^2 + (yP - b)^2
* q = |CQ|^2 = (xQ - a)^2 + (yQ - b)^2
* q = |CR|^2 = (xR - a)^2 + (yR - b)^2
poi eguagliandole due a due (se Γ deve passare per PQR ciascuno di essi dev'essere alla stessa distanza r da C) ottenendo il sistema (che sembra quadratico, ma è lineare)
* ((xP - a)^2 + (yP - b)^2 = (xQ - a)^2 + (yQ - b)^2) & ((xP - a)^2 + (yP - b)^2 = (xR - a)^2 + (yR - b)^2)
la cui soluzione è C(a, b), se esiste (sistema impossibile ≡ PQR allineati).
Una volta ottenuti i valori (a, b) basta sostituirli in una delle tre distanze per avere q, e quindi poter scrivere Γ.