Ciao ragazzi potresti farmi una mano a risolvere l’es 66 (il 2º di questa pagina) che non riesco a capire bene la cosa del seno. Grazie in anticipo

Ciao, mi sa tanto che tu non conosca bene la funzione SENO. Comunque...

La funzione in esame è data a partire dalla funzione 

y = SIN(x)

raddoppiando la sua ampiezza; e traslandola verticalmente verso il basso di una unità. Ottieni quindi :

y = 2·SIN(x) - 1

Quindi ti si chiede quali sono gli zeri in figura di tale funzione. Quindi metti a sistema:

{y = 2·SIN(x) - 1

{y = 0

Quindi devi sapere quando si ha: 

2·SIN(x) - 1 = 0------> SIN(x) = 1/2

Per prima cosa devi studiarla nell'angolo giro. Se fai la circonferenza goniometrica: il seno è dato dall'ordinata del termine dell'arco , quindi hai due possibilità:

x = pi/6 ∨ x = 5/6·pi (1° e 2° quadrante: x = 30° ∨ x = 150°)

Siccome sono infiniti tali zeri, sai che il periodo della funzione vale Τ = 2·pi

Tutti questi zeri si ottengono dalla relazione:

x = pi/6 + 2·k·pi ∨ x = 5/6·pi + 2·k·pi

con k = N° reale. Osserva poi la figura:

per k=-1 hai:

x = pi/6 + 2·(-1)·pi ∨ x = 5/6·pi + 2·(-1)·pi

x = - 11·pi/6 ∨ x = - 7·pi/6

Il primo zero negativo è in grassetto

per k=1 hai:

x = pi/6 + 2·1·pi ∨ x = 5/6·pi + 2·1·pi

x = 17·pi/6 ∨ x = 13·pi/6

quindi prendi tutti questi valori

Determinando l'intervallo in cui essi sono racchiusi:

- 7/6·pi ≤ x ≤ 17/6·pi

In figura seguente ti calcoli gli intervalli dove è positiva + e dove è negativa -.

Quindi segui le frecce e capisci dove è crescente e dove è decrescente:

a. intervallo (a, b)

Osserviamo che i punti a e b hanno ordinata nulla. Cerchiamoli tra gli zeri della funzione

$ y(x) = 2sinx -1 = 0 \; \implies \; sinx = \frac{1}{2} $

Le soluzioni generali sono 

1. $x = \frac{\pi}{6} +2k\pi $
2. $x = \frac{5\pi}{6} +2k\pi $    con $ k \in \mathbb{Z}$

dal grafico si deduce che con una piccola rotazione antioraria la funzione diventa negativa quindi la soluzione interessata al calcolo di a e b è la seconda. Poniamo

• $ k = -1 \; \implies \; \frac{5}{6}\pi - 2\pi = -\frac{7}{6}\pi = a $
• $ k = 1 \; \implies \; \frac{5}{6}\pi + 2\pi = \frac{17}{6}\pi = b $

La funzione y(x) è definita in $ (-\frac{7}{6}\pi, \frac{17}{6}\pi) $

b. Zeri della y(x)

Abbiamo già determinato gli zeri in generale, occorre restringerci a quelli che cadono nell'intervallo (a, b)

• per $k = 0 \; \implies \; x_1 = \frac{1}{6}\pi \; \lor \;  x_2 = \frac{5}{6}\pi$
• per $k = 1  \; \implies \; x_3 = \frac{13}{6}\pi$

c. y(x) > 0

La funzione è positiva in $(\frac{1}{6}\pi,  \frac{5}{6}\pi) \; \cup \; (\frac{13}{6}\pi,  \frac{17}{6}\pi)$

Il primo intervallo è ovvio e il secondo si ottiene sommando 2π al primo, considerando la periodicità della funzione.

d.  y(x) strettamente crescente

Derivata prima. y'(x) = 2cosx

Strettamente crescente significa y'(x) ≥ 0, solo se si annulla in un numero sporadico (al più numerabile) di volte

• $ cosx \ge 0 \; \implies \; (-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}) \; \cup \; (\frac{3\pi}{2} \le x \le \frac{5\pi}{2}) $ 

il secondo intervallo si ottiene sommando la periodicità al primo.

y = 2 senx - 1;

(y + 1) / 2 = sen x;

la funzione incontra l'asse x quando y = 0;

sen x = (0 + 1) / 2;

sen x = 1/2;

x = arcsen(1/2) = 30° = π/6 rad;

x = 180° - 30° = 150° = π - π/6 = 5/6 π;

il seno ha periodo T = 2 π ;

si annulla infinite volte nei punti:

x = π/6  + 2 k π,  x = 5/6 π + 2 k π;

k = - 1:

x = π/6  - 2 π = π/6  - 12/6 π;

x = - 11/6 π rad

x = 5/6 π - 2 π = - 7/6 π; (a)

k = 1:

x = π/6  + 2 π = 13/6 π, 

x = 5/6 π + 2 k π = + 17/6 π (b)