Considera la funzione
$$
y=f(x)=2\left|\log _2 x\right|+\log _2 2 x-2 .
$$
a. Trova il dominio, studia il segno di $f(x)$ e disegna il grafico di $f(x)$.
b. La funzione è monotòna?
È invertibile?
Se non lo è in tutto il suo dominio, effettua una restrizione, trova $f^{-1}(x)$ e mostra che $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$.
c. Disegna i grafici di $y=f(x)+1$ e di $y=f(x+1)$.
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Livello 1
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Genius II
f(x) = 2 |log_2 x| + log_2 x + log_2 2 - 2
é una funzione composta intera trascendente con dominio x > 0
Per lo studio del segno, poni u = log_2 x
2 |u| + u - 1 >= 0
per u >= 0 (x >= 1 )
3 u >= 1 -
u >= 1/3
x >= rad_3 (2)
per u < 0 [ 0 < x < 1 ]
- u - 1 >= 0
u + 1 <= 0
u <= - 1
x <= 1/2
positiva da 0 a 1/2 e da rad_3 (2) in poi
Il grafico é il seguente
https://www.desmos.com/calculator/yuisz3qcwd
La funzione non é monotona
2 |u| + u - 1 = y
per u >= 0 dà 3u = y + 1 => u = (y + 1)/3 con y >= -1
per u < 0 dà - u - 1 = y => u = (-y - 1) con y + 1 > 0
quindi per y > -1 esistono due valori di u che hanno per immagine lo stesso y
la funzione non é iniettiva e quindi non é globalmente invertibile.
I due rami separati 0 < x < 1 e x >= 1 sono invece monotoni e qui é
semplice determinare la funzione inversa. Lo faccio per il ramo destro
e poi sarai tu a portare a termine le ulteriori consegne dell'esercizio.
Se x >= 1 allora u = log_2 x >= 0
per cui y = 2u + u - 1 = 3 u - 1
Dunque 3 u = 1 + y
u = (1 + y)/3
x = 2^((1+y)/3) = rad_3 (2 * 2^y)
l'inversa é y = rad_3 (2*2^x)
Ti lascio da verificare che la composizione dà la funzione identica
nel dominio individuato e che i grafici richiesti in c sono due traslati di 1
unità lungo ciascuno degli assi in accordo a y - b = f(x - a)
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Livello 7
