[Risolto] Ciao potreste aiutarmi con questo esercizio ? Grazie

@piesior

Edit: ho corretto un paio di cose.

a) 

arccos(f(x)) è definito sse -1<=f(x)<=1

-1<= |1/x -2| <=1 (c.e. x=/=0)

{ -1<= |1/x -2| --> sempre verificata

{|1/x -2| <=1 --> -1<= 1/x -2 <=1  --> -1<= (1-2x)/x  <=1

-1<= (1-2x)/x a sistema con (1-2x)/x  <=1 e si ottiene: 1/3<=x<=1

Sotto la radice arctan(3x-1)>=0 --> 3x-1 >=0 --> x>=1/3

Il dominio risulta essere:    1/3 $\leq$ x $\leq$ 1

b)

f(1/3) = arccos(1) + radq(arctan(0)) = 0

f(2/3) = arccos(|3/2-2|) + sqrt(arcta(1)) = arcos(1/2) +sqrt(arcta(1)) =

=$\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ 

c)

g(x) = a+b*arcsin((x-1)/x) deve passare per (2/3 , $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$  ) e per (1,0)

{a+b*(-pi / 3) = $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ 

{a+b*0 =0

....

| 1/x - 2 | <= 1

arctg (3x - 1) >= 0

- 1 <= 1/x - 2 <= 1

1 <= 1/x <= 3

1/3 <= x <= 1

3x - 1 >= tg 0

x >= 1/3

il dominio é [1/3, 1]

f(1/3) = arccos 1 + sqrt(0) = 0 + 0 = 0

f(2/3) = arccos 1/2 + sqrt (arctg 1) = pi/3 + 1/2 sqrt(pi)

A) Trova ...
La funzione della variabile reale x
* f(x) = y = arccos(|1/x - 2|) + √arctg(3*x - 1)
è indefinita solo in x = 0, come 1/x; quindi ha
* dominio: l'intero asse reale x
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss
* insieme di definizione: R\{0}
* insieme di definizione reale (immagino sia questo che chiami dominio): be', con calma!
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A1) arccos(a) è reale se e solo se |a| <= 1.
arccos(|1/x - 2|) è reale se e solo se |1/x - 2| <= 1 ≡ 1/3 <= x <= 1
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A2) √arctg(a) è reale se e solo se arctg(a) >= 0.
arctg(a) >= 0 ≡ a >= 0
√arctg(3*x - 1) è reale se e solo se 3*x - 1 >= 0 ≡ x >= 1/3.
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A3) f(x) è reale se e solo se
* (1/3 <= x <= 1) & (x >= 1/3) ≡ 1/3 <= x <= 1
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C) Calcola ...
* f(1/3) = y = arccos(|1/(1/3) - 2|) + √arctg(3*1/3 - 1) =
= arccos(1) + √arctg(0) =
= 0 + 0 = 0
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* f(2/3) = y = arccos(|1/(2/3) - 2|) + √arctg(3*2/3 - 1) =
= arccos(1/2) + √arctg(1) =
= π/3 + √π/2
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D) Considera ...
Il grafico della funzione delle variabili reali (x, a, b)
* g(x) = y = a + b*arcsin((x - 1)/x)
interseca quello di f(x) in (2/3, π/3 + √π/2) e l'asse x in (1, 0) se e solo se
* (π/3 + √π/2 = a + b*arcsin((2/3 - 1)/(2/3))) & (0 = a + b*arcsin((1 - 1)/1)) ≡
≡ (π/3 + √π/2 = a + b*arcsin(- 1/2)) & (0 = a + b*arcsin(0)) ≡
≡ (π/3 + √π/2 = a + b*(- π/6)) & (0 = a + b*0) ≡
≡ (a = 0) & (π/3 + √π/2 = 0 + b*(- π/6)) ≡
≡ (a = 0) & (b = - (2 + 3/√π))
da cui
* g(x) = y = - (2 + 3/√π)*arcsin((x - 1)/x)
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Vedi i grafici al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve%5By%3Darccos%28%7C1%2Fx-2%7C%29--%E2%88%9Aarctg%283*x-1%29%2Cy%3D-%282--3%2F%E2%88%9A%CF%80%29*arcsin%28%28x-1%29%2Fx%29%5D