[Risolto] Esercizi funzione

Ciao!
Per trovare i punti di discontinuità dobbiamo inanzitutto fare il dominio delle funzioni, e poi fare dei limiti ai valori trovati.

Esercizio 1

$y = \frac{4x^2+16}{3x-6}$

Condizione di esistenza: $3x-6 \neq 0 $
                                    $3x \neq 6$
                                    $x \neq 2$
Facciamo il limite:$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{4x^2+16}{3x-6} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{4\cdot 2^2 +16}{3\cdot 2 - 6} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{32}{6-6} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{32}{0} = \infty$

Quindi è una discontinuità di seconda specie.

Esercizio 2:

$ y = ln(3x+12)$

Condizione di esistenza: $3x+12 > 0 $
                                    $3x > -12 $
                                     $x> -4$
Facciamo il limite: $\lim_{x \rightarrow -4}ln(3x+12 = \lim_{x \rightarrow -4} ln(3\cdot(-4)+12) = \lim_{x \rightarrow -4} ln(-12+12) = \lim_{x \rightarrow -4} ln(0) = -\infty$

Quindi è una discontinuità di seconda specie.

Esercizio 3:

$y = \frac{2+3x}{12-3x^2}$

Condizione di esistenza: $12-3x^3 \neq 0$
                                    $-3x^2 \neq -12 $
                                    $x \neq \pm \sqrt{4} = \pm 2$

Facciamo il limite a $2$: $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2+3x}{12-3x^2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{2+3\cdot 2}{12-3\cdot 2^2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{8}{12-12} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{8}{0} = \infty$

Quindi è una discontinuità di seconda specie.

Facciamo il limite a $-2$: $\lim_{x \rightarrow -2} \frac{2+3x}{12-3x^2} = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{2+3\cdot (-2)}{12-3\cdot (-2)^2} = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{2-6}{12-12} = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{-4}{0} = \infty$

Quindi è una discontinuità di seconda specie.

Esercizio 4:

$ y = \frac{|x-3|}{6-2x}$

L'argomento del modulo è positivo quando $x > 3$. In questo caso potremo togliere il simbolo di valore assoluto.

Condizione di esistenza: $6-2x \neq 0$
                                    $-2x \neq -6$
                                    $x \neq 3$
Facciamo il limite a $3$: $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{|x-3|}{6-2x} = \lim_{x \rightarrow 3} \frac{|3-3|}{6-2\cdot 3} = \lim_{x \rightarrow 3} \frac{0}{6-6} = \lim_{x \rightarrow 3} \frac{0}{0} = $ forma di indecisione

Osserviamo che: $6-2x = 2(3-x)$
quindi $\frac{|x-3|}{2(3-x)} = \begin{cases} \frac{x-3}{2(3-x)} =- \frac{1}{2} & x\geq 3 \\
\frac{-x+3}{2(3-x)} = \frac12 & x < 3 \end{cases}$

Quindi possiamo sempre semplificare. 
Proviamo a fare il limite a $3$ di questa nuova funzione:

$\lim_{x \rightarrow 3^+} -\frac{1}{2} =-\frac12$
$\lim_{x \rightarrow 3^-} \frac12 = \frac12 $

Quindi è una discontinuità di prima specie.

Esercizio 5:

$y =\frac{ 2x^2+x-3}{x^3-1}$

Condizione di esistenza: $x^3-1 \neq 0$
                                    $x^3 \neq 1$
                                    $x \neq 1$

Facciamo il limite: $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{ 2x^2+x-3}{x^3-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2\cdot 1^2+1-3}{1^3-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{0}{0} =  $ forma di indecisione.

Per risolvere questa forma di indecisione scomponiamo i due polinomi:

$ 2x^2+x-3 = (x-1)(2x+3)$
$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$

Da cui: $\frac{ 2x^2+x-3}{x^3-1} = \frac{(x-1)(2x+3)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

e nel limite: $\lim_{x \rightarrow 1}  \frac{(x-1)(2x+3)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x+3}{x^2+x+1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2\cdot 1 +3}{1^2+1+1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{5}{3} = \frac53$

Quindi è una discontinuità di terza specie.

Buonasera, ti invitiamo a scrivere la domanda o postare una foto che si legge meglio.