CE, RADICALE LETTERALE

Problema:

Trova due polinomi $A(x)$ e $B(x)$ per cui gli insiemi di definizione delle due espressioni $\sqrt{A(x)B(x)}$ e $\sqrt{A(x)} \sqrt{B(x)}$ siano diversi. Trova poi due polinomi $A(x)$ e $B(x)$ per cui gli insiemi di definizione delle due espressioni considerate risultino uguali.

Soluzione:

Prima di iniziare il quesito buttandosi alla cieca conviene fare delle osservazioni preliminari.

La prima espressione ha condizione di esistenza $A(x)B(x)≥0$, ciò significa che $A(x)≥0, B(x)≥0$ oppure $A(x)≤0, B(x)≤0$, oppure $A(x)=0, B(x) \frac{>}{<} 0$, oppure $B(x)=0, A(x)\frac{>}{<}0$, oppure $A(x)=B(x)=0$. 

La seconda espressione ha condizione di esistenza $A(x)≥0 \wedge B(x)≥0$.

Si escludono i casi in cui uno dei due polinomi è nullo per evitare soluzioni banali.

Per avere due insiemi di definizioni differenti è necessario che $A(x)B(x)≥0$ sia valida e che $A(x)≥0 \wedge B(x)≥0$ non lo sia. Si può considerare quindi $A(x)≤0, B(x)≤0$. Le più semplici possono essere $-x$ e $-x-1$. 

Si ha dunque che$(-x)(-x-1)≥0 \implies x \in (-∞, -1] \cup [0,+∞)$ e che $(-x)≥0 \wedge (-x-1)≥0 \implies x \in (-∞, -1]$. Quindi per il primo punto due polinomi validi possono essere $A(x)=-x$ e $B(x)=-x-1$.

Per avere invece lo stesso insieme di definizione devono essere vere $A(x)B(x)≥0$ e $A(x)≥0, B(x)≥0$.

Si considerano dunque $A(x)≥0$ e $B(x)≥0$. Uno dei due deve essere sempre positivo, in modo da poter dividere per esso $A(x)B(x)≥0$. Si può considerare $A(x)=x²+1$ e $B(x)=x$.

La verifica è lasciata al lettore.