Considera la funzione: $$ f(x)=\frac{x}{x^{2}+a^{2}}, \operatorname{con} a>0 $$ 1. Studiala e traccia un grafico qualitativo della funzione, determinando in particolare i punti di estremo relativo e di flesso. Deduci, dal grafico della funzione $f(x)$, il grafico della funzione $f^{\prime}(x)$, mettendo in evidenza le relazioni tra i due grafici e motivando il procedimento. 2. L'area della regione di piano $D$, limitata dal grafico dalla funzione $f(x)$ e dal semiasse delle ascisse positive, è finita o infinita? Il volume del solido generato da una rotazione completa della regione $D$ intorno all'asse $x$ è finito o infinito? Motiva adeguatamente le riposte.
3. Considera lo spazio (supposto vuoto), riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxyz in cui l'unità di misura su ciascuno degli assi è il metro, il punto $P(x, 0,0) \operatorname{con} x \geq 0$ e i tre sistemi fisici descritti qui di seguito.
- Due fili di lunghezza infinita appartenenti al piano $x=0$, paralleli all'asse $z$ e distanti $a$ dall'origine, uno percorso da una corrente $i$, nel verso dell'asse $z$ (supposto uscente dal foglio)e I'altro percorso dalla corrente $i$ in verso opposto.
- Due fili di lunghezza infinita appartenenti al piano $x=0$, paralleli all'asse $z$ e distanti $a$ dall'origine, percorsi da una stes: corrente $i$, nel verso dell'asse $z$ (supposto uscente dal foglio).
- Tre fili di lunghezza infinita appartenenti al piano $x=0$, di cui: due paralleli all'asse $z$ e distanti $a$ dall'origine, percorsi da una stessa corrente $i$, entrambi nel verso dell'asse $z$ (supposto uscente dal foglio); uno giacente sull'asse $z$, percorso da una corrente $i$, nel verso opposto all'asse $z$.
Per ciascuno di questi tre sistemi fisici, specifica modulo, direzione e verso del campo magnetico risultante nel punto $P .$ La funzione: $$ g(x)=\frac{\mu_{0} i}{\pi} f(x) \operatorname{con} x \geq 0 $$ dove $\mu_{0}$ è la permeabilità magnetica del vuoto e $x$ rappresenta l'ascissa di $P$, esprime l'intensità del campo magnetico risultante nel punto $P$ in corrispondenza di uno solo dei tre sistemi fisici descritti: individua quale.
4. Considera il sistema fisico individuato al punto precedente. Un tratto di filo $A B$ di lunghezza $l$ (in $\mathrm{m}$ ), posto sull'asse $x$, ha come estremi i due punti $A(l, 0)$ e $B(2 l, 0)$ ed è percorso da una corrente $i$ diretta nel verso delle ascisse positive. Calcola modulo, direzione e verso della forza magnetica $\vec{F}$ che agisce sul tratto di filo $A B$.
- Poiché $a>0$, il dominio della funzione è $\mathbf{R}$. - Osserviamo che la funzione è dispari, infatti: $$ f(-x)=\frac{-x}{(-x)^{2}+a^{2}}=-\frac{x}{x^{2}+a^{2}}=-f(x) $$ dunque il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine degli assi. - Studiamo il segno della funzione. Dal momento che il denominatore è sempre strettamente positivo (è somma di due quadrati, di cui il secondo non nullo), il segno della funzione dipende solo dal numeratore. E immediato constatare che risulta: $$ f(x)<0 \Leftrightarrow x>0 \quad f(x)=0 \Leftrightarrow x=0 \quad f(x)>0 \Leftrightarrow x>0 $$ - Dal momento che la funzione è definita su tutto $\mathbf{R}$ non ci sono asintoti verticali; per lo studio degli asintoti orizzontali calcoliamo i limiti per $x \rightarrow \pm \infty$; abbiamo: $$ \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x}{x^{2}+a^{2}}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x}{x^{2}\left(1+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{1}{x\left(1+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)}=0 $$ La retta di equazione $y=0$, cioè l'asse $x$, è dunque asintoto orizzontale per la funzione, sia a destra, sia a sinistra. - Calcoliamo la derivata prima della funzione: $$ f^{\prime}(x)=\frac{1 \cdot\left(x^{2}+a^{2}\right)-x \cdot 2 x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}}=\frac{a^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}}=\frac{(a+x)(a-x)}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}} $$ Abbiamo che: $f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\pm a$ $f^{\prime}(x)>0 \Leftrightarrow-a<x<a$
Lo schema del segno della derivata prima è il seguente:
da cui si deduce che la funzione presenta un punto di minimo per $x=-a$ e un punto di massimo per $x=a$. Il valore della funzione in tali punti è: $$ f(-a)=\frac{-a}{a^{2}+a^{2}}=-\frac{1}{2 a} \quad \mathrm{e} \quad f(a)=\frac{a}{a^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2 a} $$ - Calcoliamo la derivata seconda della funzione: $$ \begin{array}{l} f^{\prime \prime}(x)=\frac{-2 x\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}-2 \cdot 2 x\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(a^{2}-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{4}}=\frac{2 x\left(x^{2}+a^{2}\right)\left[-\left(x^{2}+a^{2}\right)-2\left(a^{2}-x^{2}\right)\right]}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{4}}= \\ =\frac{2 x\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(x^{2}-3 a^{2}\right)}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{4}}=\frac{2 x\left(x^{2}-3 a^{2}\right)}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3}} \end{array} $$ Abbiamo che: $$ f^{\prime \prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=\pm a \sqrt{3} $$ $$ f^{\prime \prime}(x)>0 \Leftrightarrow-a \sqrt{3}<x<0 \vee x>a \sqrt{3} $$ Lo schema del segno della derivata seconda è il seguente:
La derivata seconda cambia segno nell'intorno di tutti i punti in cui si annulla, dunque $x=0$ e $x=\pm a \sqrt{3}$ sono punti di flesso (a tangente obliqua). I valori della funzione in corrispondenza dei punti di flesso sono: $$ f(-a \sqrt{3})=\frac{-a \sqrt{3}}{3 a^{2}+a^{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{4 a} \quad f(0)=0 \quad f(a \sqrt{3})=\frac{a \sqrt{3}}{3 a^{2}+a^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4 a} $$ Il grafico qualitativo della funzione è quindi quello in figura.
Possiamo ora dedurre il grafico della derivata prima. La funzione $f^{\prime}(x)$ : - è definita in $\mathbf{R}$ ed è una funzione pari (dal momento che $f(x)$ è dispari); - presenta come asintoto orizzontale $y=0$ sia a sinistra sia a destra, dato che il grafico della funzione originaria presenta asintoto orizzontale sia a sinistra sia a destra e, in presenta di un asintoto orizzontale a sinistra (destra), la derivata prima, se ammette limite per $x \rightarrow-\infty(x \rightarrow+\infty)$, deve tendere a zero; - presenta degli zeri in corrispondenza dei punti stazionari di $f(x)$, è positiva dove $f(x)$ è crescente ed è negativa dove $f(x)$ è descresente; - presenta punti di estremo relativo in corrispondenza di punti di flesso di $f(x)$, è crescente dove $f(x)$ è convessa ed è decrescente dove $f(x)$ è concava. - Ne segue il grafico qualitativo di $f^{\prime}(x)$ in grigio chiaro in figura; da esso si può dedurre l'esistenza di quattro punti di flesso.
PUNTO 2
L'area $A$ della regione di piano $D$ descritta è data dal seguente integrale: $$ A=\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{x^{2}+a^{2}} d x $$ Il calcolo diretto è immediato e permette di concludere che l'integrale [*] diverge e dunque l'area considerata è infinita: $$ A=\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{2 x}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{2} \lim _{t \rightarrow+\infty}\left[\ln \left(x^{2}+a^{2}\right)\right]_{0}^{t}=\frac{1}{2} \lim _{t \rightarrow+\infty}\left[\ln \left(t^{2}+a^{2}\right)-\ln a^{2}\right]=+\infty $$ Il volume $V$ del solido ottenuto ruotando la regione $D$ intorno all'asse $x$ si ottiene invece dal seguente integrale: $$ V=\pi \int_{0}^{+\infty}\left(\frac{x}{x^{2}+a^{2}}\right)^{2} d x=\pi \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{x^{4}+2 a^{2} x^{2}+a^{4}} d x $$ Il calcolo diretto sarebbe complicato, ma la richiesta è soltanto di stabilire se l'integrale $[* *]$ converge o diverge. Si può scrivere: $$ \int_{0}^{+\infty}\left(\frac{x}{x^{2}+a^{2}}\right)^{2} d x=\int_{0}^{1}\left(\frac{x}{x^{2}+a^{2}}\right)^{2} d x+\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{x}{x^{2}+a^{2}}\right)^{2} d x $$ Poiché l'integrale tra 0 e 1 è certamente finito, l'integrale $\left[*^{*}\right]$ converge se e solo se converge l'integrale: $$ \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{x}{x^{2}+a^{2}}\right)^{2} d x \quad\left[^{* * *}\right] $$ D'altra parte, se $a \neq 0$ (come nelle nostre ipotesi), risulta $x^{4}+2 a^{2} x^{2}+a^{4}>x^{4}$ e quindi
$$ \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{x}{x^{2}+a^{2}}\right)^{2} d x=\int_{1}^{+\infty} \frac{x^{2}}{x^{4}+2 a^{2} x^{2}+a^{4}} d x<\underbrace{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x}_{\text {convergente }} $$ Ne segue che l'integrale $\left[{ }^{* *}\right]$, e quindi anche $\left[{ }^{* *}\right]$, converge: il volume considerato è perciò finito (sebbene ottenuto dalla rotazione di una regione di piano di area infinita!).
PUNTO 3
Esaminiamo inizialmente il sistema fisico A. I due fili generano due campi magnetici $\overrightarrow{B_{1}} \mathrm{e} \overrightarrow{B_{2}}$ che nel punto $P$ hanno la stessa intensità: $$ \overrightarrow{B_{1}}|=| \overrightarrow{B_{2}} \mid=\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{i}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} $$ Utilizzando la regola della mano destra si deduce che nel punto $P$ i due vettori $\overrightarrow{B_{1}} \mathrm{e} \overrightarrow{B_{2}}$ sono disposti geometricamente come in Fig. 1 .
Le componenti di $\overrightarrow{B_{1}}$ e $\overrightarrow{B_{2}}$ lungo l'asse $y$ si annullano; dunque il campo risultante ha la direzione e il verso dell'asse $x$ e modulo uguale a: $$ 2\left|\overrightarrow{B_{x}}\right|=2\left|\overrightarrow{B_{1}}\right| \cos \theta=2 \underbrace{\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{i}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}}_{\mid \overrightarrow{B_{1} \mid}} \cdot \underbrace{\frac{a}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}}_{\cos \theta}=\frac{\mu_{0} i}{\pi} \cdot \frac{a}{x^{2}+a^{2}} $$
Nel caso del sistema fisico $\mathrm{B}$, la situazione che si presenta è quella in Fig. 2 .
Questa volta si annullano le componenti di $\overrightarrow{B_{1}}$ e $\overrightarrow{B_{2}}$ lungo l'asse $x ;$ dunque il campo risultante ha la direzione e il verso dell'asse $y$ e modulo uguale a: $$ 2\left|\overrightarrow{B_{y}}\right|=2\left|\overrightarrow{B_{1}}\right| \sin \theta=2 \underbrace{\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{i}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}}_{\mid \overrightarrow{B_{1} \mid}} \cdot \underbrace{\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}}_{\sin \theta}=\frac{\mu_{0} i}{\pi} \cdot \frac{x}{x^{2}+a^{2}} $$ Nel caso del sistema fisico C, occorre sommare il campo magnetico ottenuto nel punto precedente (rappresentato da $\overrightarrow{B_{1}}$ in Fig. 3) con quello generato dall'ulteriore filo passante per l'origine (rappresentato da $\overrightarrow{B_{2}}$ in Fig. 3).
Poiché $\overrightarrow{B_{1}}=\frac{\mu_{0} i}{\pi} \cdot \frac{x}{x^{2}+a^{2}} \vec{j} \mathrm{e} \overrightarrow{B_{2}}=-\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{i}{x} \vec{j}$, il campo risultante in $P \mathrm{è}$ $$ \vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{\pi} \cdot\left(\frac{x}{x^{2}+a^{2}}-\frac{1}{2 x}\right) \vec{j} $$ Il campo magnetico in $P$ ha la stessa direzione dell'asse $y$, modulo uguale a $\frac{\mu_{0} i}{\pi} \cdot\left|\frac{x}{x^{2}+a^{2}}-\frac{1}{2 x}\right|$ e verso che risulta concorde con quello dell'asse $y$ se $\frac{x}{x^{2}+a^{2}}-\frac{1}{2 x}>0$, cioè per $x>a$, e discorde con quello dell'asse $y$ se $0<x<a$. In particolare se $x=a$, il campo risultante in $P$ è nullo. La funzione $g(x)=\frac{\mu_{0} i}{\pi} f(x)$ ha espressione analitica $g(x)=\frac{\mu_{0} i}{\pi} \frac{x}{x^{2}+a^{2}}$ ed è immediato constatare che tale funzio- ne, $\operatorname{con} x \geq 0$, fornisce l'intensità del campo magnetico risultante in $P$ nel caso del sistema fisico $B$.
PUNTO 4
Nel caso del sistema fisico $B$ il campo magnetico in $P$ ha direzione e verso dell'asse $y$, mentre la corrente che scorre lungo il tratto di filo $A B$ ha direzione e verso dell' asse $x$. Ne segue, in base alla regola della mano destra, che la forza $\vec{F}$ agente sul filo $A B$ ha la stessa direzione e lo stesso verso dell'asse $z$ (uscente dal foglio). L'intensità della forza magnetica agente su un elemento del filo $A B$ di lunghezza infinitesima $d x$ è $d F=i B d x$ (perché campo magnetico e corrente sono perpendicolari); per trovare l'intensità $F$ della forza risultante agente sul filo $A B$ è sufficiente allora integrare: $$ F=\int_{l}^{2 l} i B d x=\frac{\mu_{0} i^{2}}{\pi} \int_{l}^{2 l} \frac{x}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{\mu_{0} i^{2}}{2 \pi} \int_{l}^{2 l} \frac{2 x}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{\mu_{0} i^{2}}{2 \pi}\left[\ln \left(x^{2}+a^{2}\right)\right]_{l}^{2 l}=\frac{\mu_{0} i^{2}}{2 \pi} \ln \frac{4 l^{2}+a^{2}}{l^{2}+a^{2}} $$
