[Risolto] Cambio di riferimento in spazi proiettivi

Problema:

Determinare la formula $y = A x$ del cambiamento di coordinate dal riferimento standard di $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ al riferimento individuato dai punti proiettivi $P_0$, $P_1$, $P_2$, dove:

\[
P_0 = [1,1,-1], \quad P_1 = [2,1,0], \quad P_2 = [0,1,1],
\]
e il punto $M = [1,1,0]$ è dato.

Soluzione (insicura):

Si verifica che M sia un punto unità. Dato che si ha $M=\frac{1}{3}P_0+\frac{1}{3}P_1+\frac{1}{3}P_2$, esso lo è. Si potrebbe quindi associare a tale riferimento una base dello spazio vettoriale sottostante di $\mathbb{R}^3$ costituita dai vettori: $B=((\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}), (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 0), (0, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}))$. 

Ad ogni modo, non è necessario individuare la base dello spazio associato dato che per la matrice del cambiamento di base dal riferimento canonico $(\epsilon)$ al riferimento $(P_0, P_1, P_2)$, in contesto proiettivo, si ottiene considerando la matrice: $B^{B}_{\epsilon}=[P_0\ |\ P_1\ |\ P_2]=$ \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & 1
\end{bmatrix}

La matrice $A$ del cambiamento di coordinate è quindi l'inversa di $B$:

​$A^{\epsilon}_{B} = B^{-1}= \begin{bmatrix}
1 & 2 & -2 \\
-1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}$

Pertanto, la formula del cambiamento di coordinate è:

$y = \begin{bmatrix}
1 & 2 & -2 \\
-1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix} x$

dove $x$ rappresenta le coordinate omogenee di un punto rispetto al riferimento canonico, e $y$ le sue coordinate rispetto al riferimento $(P_0, P_1, P_2)$.

@n_f grazie mille per rispondere alle mie domande da matematica disperata in sessione~. 🙂