Data la circonferenza di centro $O(0,0)$ e raggio 4 , determina il volume del solido generato da una rotazione completa intorno all'asse $x$ del settore circolare, contenuto nel primo quadrante, delimitato dalla circonferenza, dall'asse $x$ e dalla retta passante per l'origine che forma un angold $\mathrm{d} 60^{\circ} \mathrm{con}$ il semiasse positivo delle ascisse.
$\left[\frac{64 \pi}{3}\right]$
Spiegare e argomentare.
11881
punti
Livello 2
{y = √3·x
{y = √(16 - x^2)
risolvo: [x = 2 ∧ y = 2·√3]
A' [2, 2·√3]
Calcolo gli integrali definiti delle due funzioni:
pi·(√3·x)^2 = 3·pi·x^2
pi·√(16 - x^2)^2 = pi·(16 - x^2)
∫(3·pi·x^2) dx = pi·x^3
valutato da x = 0 ad x = 2
pi·2^3 = 8·pi
pi·0^3 = 0
8·pi - 0 = 8·pi
∫(pi·(16 - x^2)) dx =16·pi·x - pi·x^3/3
valutato da x = 2 ad x = 4
16·pi·4 - pi·4^3/3 = 128·pi/3
16·pi·2 - pi·2^3/3 = 88·pi/3
128·pi/3 - 88·pi/3 = 40·pi/3
Il volume è quindi pari a:
Vx=8·pi + 40·pi/3 = 64·pi/3
115472
punti
Genius III
