3.93 Calcolare gli integrali tripli:
(a) $\iiint_C \sqrt[3]{x^2+y^2} d x d y d z$
Capitolo 3. Metodi di calcolo per gli integrali multipli dove $C$ è il cono di vertice nel punto $(0,0,-2)$ avente per base il cerchio di centro l'origine e raggio 1 contenuto nel piano $x y$.
Salve, non riesco a capire come rappresentare parametricamente l'insieme C. Riuscite ad aiutarmi?
74
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Livello 1
In coordinate cilindriche tale integrale triplo si scrive come
\[\iiint_C \sqrt[3]{x^2 + y^2}\:dx dy dz \mid x = r\cos{\theta} \quad y = r\sin{\theta} \quad z = z \implies\]
\[\iiint_C \sqrt[3]{x^2 + y^2}\:dx dy dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{-2}^{-2 + 2r} r^{2/3} \cdot r\: dz dr d\theta \implies\]
\[\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 2r^{8/3} dr d\theta \implies \int_{0}^{2\pi} \frac{6}{11} d\theta = \frac{6}{11} \cdot 2\pi \implies\]
\[\iiint_C \sqrt[3]{x^2 + y^2}\:dx dy dz = \frac{6}{11} \cdot 2\pi = \frac{12\pi}{11}\,.\]
3831
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Livello 5
