[Risolto] Calcolo di aree e volumi

∫(4·x - 1/x)dx =2·x^2 - LN(x)

valutato fra x=1/2 ed x=1:

2·1^2 - LN(1) = 2

2·(1/2)^2 - LN(1/2)= LN(2) + 1/2

quindi: 2 - (LN(2) + 1/2) = 3/2 - LN(2)

∫(4/x - x)dx=4·LN(x) - x^2/2

valutato fra x=1 ed x=2:

4·LN(2) - 2^2/2 = 4·LN(2) - 2

4·LN(1) - 1^2/2 = - 1/2

quindi: 4·LN(2) - 2 + 1/2 = 4·LN(2) - 3/2

Sommo i due risultati ottenuti ed ottengo l'area richiesta:

3/2 - LN(2) + 4·LN(2) - 3/2 = 3·LN(2)

Si tratta di calcolare i quattro vertici dell'area blu
* (y = x) & (y = 1/x) ≡ (1, 1)
* (y = x) & (y = 4/x) ≡ (2, 2)
* (y = 4*x) & (y = 1/x) ≡ (1/2, 2)
* (y = 4*x) & (y = 4/x) ≡ (1, 4)
e ordinarli sull'ascissa per avere gli estremi d'integrazione
* (1/2, 2), (1, 1), (1, 4), (2, 2)
e d'integrare le opportune differenze
* area S = ∫ [x = 1/2, 1] (4*x - 1/x)*dx + ∫ [x = 1, 2] (4/x - x)*dx
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* ∫ (4*x - 1/x)*dx = 2*x^2 - ln(x) + c
* ∫ [x = 1/2, 1] (4*x - 1/x)*dx = 3/2 - ln(2)
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* ∫ (4/x - x)*dx = 4*ln(x) - x^2/2 + c
* ∫ [x = 1, 2] (4/x - x)*dx = ln(16) - 3/2
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* area S = 3/2 - ln(2) + ln(16) - 3/2 = 3*ln(2)