Calcolo aree con gli integrali.

{y = √(ABS(x + 4))

{y = 2

risolvo:

ABS(x + 4) = 4

x = -8 ∨ x = 0

[-8, 2]

[0, 2]

∫(2 - √(-x - 4)) dx = 8/3

integrale valutato da x= -8 ad x =-4

∫(2 - √(x + 4)) dx = 8/3

integrale valutato da x= -4 ad x = 0

Α = 8/3 + 8/3 A = 16/3

Disegniamo su un grafico le due curve e la superficie A

Le due curva sono rami di parabole del tipo x = ay²+by+c.

Conviene integrare rispetto l'asse y, ricordando che la curva positiva e quella a dx.

Calcoliamo le due funzioni del tipo x=x(y)

• dalla $y = \sqrt{x+4} \; ⇒ \; x_1 = y^2 - 4$  
• dalla $y = \sqrt{-x-4} \; ⇒ \; x_2 = - y^2 - 4$ 

$ A = \int_0^2 x_1(y) - x_2(y) \, dy $

$ A = \int_0^2 y^2-4 + y^2 + 4 \, dy $

$ A = \int_0^2 \; 2\cdot y^2 \, dy $

$ A = 2 \left. \frac{y^3}{3} \right|_0^2 $

$ A 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3} $

Un altro modo per risolverlo è quello di applicare una traslazione e notare che la traslata genera una funzione pari, quindi sarà sufficiente moltiplicare per 2 l'integrale tra 0 e 4 della y(x).