Calcolo area cerchio circoscritto ad un aquilone

$\overline{EF}=18$

$\overline{EG}=12$

Esprimiamo $\overline{EF}$ e $\overline{EG}$ in funzione di $\alpha$, $\beta$ e $h$:

$\overline{EF}=h\tan(\alpha)=18$

$\overline{EG}=h\tan(\beta)=12$

L'angolo $\widehat{CDB}$ è retto perché $\overline{CB}=2r$ è un diametro, quindi $2\alpha+2\beta = \dfrac{\pi}{2} \implies \alpha + \beta = \dfrac{\pi}{4} \implies \beta = \dfrac{\pi}{4}-\alpha$.

Usando la formula di sottrazione della tangente:

$\tan(\beta)=\tan \left ( \dfrac{\pi}{4}-\alpha \right )=\dfrac{\tan(\frac{\pi}{4})-\tan(\alpha)}{1+\tan(\alpha)\tan(\frac{\pi}{4})}=\dfrac{1-\tan(\alpha)}{1+\tan(\alpha)}$.

$h \cdot \dfrac{1-\tan(\alpha)}{1+\tan(\alpha)}=12$

$h-h\tan(\alpha)=12+12\tan(\alpha)$

Sappiamo che $h\tan(\alpha)=18$, quindi utilizziamo questa informazione:

$h-18=12+\dfrac{18}{h}$
$h^2-30h-216=0$

La soluzione negativa non è accettabile, quindi $h=36$. 

Sostituendo otteniamo anche che $\tan(\alpha)=\dfrac{1}{2}$ e $\tan(\beta)=\dfrac{1}{3}$.

Possiamo guardare i triangoli $CED$ e $BED$ e verificare che:

$h\tan(2\alpha)+h\tan(2\beta)=2r$

Con la formula di duplicazione della tangente:

$36 \left ( \dfrac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}+\dfrac{2\tan(\beta)}{1-\tan^2(\beta)} \right )= 2r$

Sostituendo i valori di $\tan(\alpha)$ e $\tan(\beta)$, si ottiene che $r=\dfrac{75}{2}$.

L'area del cerchio è quindi $\mathcal{A}= \pi r^2 = \left ( \dfrac{75}{2} \right )^2 \pi = 1406.25\pi \approx 4417.86466911$.

Per completezza, si può invertire la tangente e trovare che $\alpha \approx 26.56505^{\circ}$ e $\beta \approx 18.43495^{\circ}$.