CALCOLA USANDO DE L’HOPITAL

x·SIN(x)^2/(TAN(x) - x)

Il limite:

LIM(x·SIN(x)^2/(TAN(x) - x)) = (0/0)

x----> 0

Quindi forma INDETERMINATA. Applichiamo quindi De L'Hopital

N'(x) = 2·x·SIN(x)·COS(x) + SIN(x)^2

D'(x)= 1/COS(x)^2 - 1

ancora forma indeterminata

N''(x)= 4·x·COS(x)^2 + 4·SIN(x)·COS(x) - 2·x

D''(x)=2·SIN(x)/COS(x)^3

ancora forma indeterminata

N'''(x)=12·COS(x)^2 - 8·x·SIN(x)·COS(x) - 6

N'''(x) = 6/COS(x)^4 - 4/COS(x)^2

Forma determinata:

N'''(0)=12·COS(0)^2 - 8·0·SIN(0)·COS(0) - 6 = 6

D'''(0)=2

6/2=3

Quindi:

LIM(x·SIN(x)^2/(TAN(x) - x)) =3

x---> 0

Conviene fare un passaggio con De L'Hospital e poi usare qualche limite notevole. 

Normalmente si impone il non uso di de l'Hôpital, ragion per cui lo affronto con tutti i sacri crismi. 

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x\, sin^2x}{tanx - x}  $          Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0

Verifichiamo le ipotesi:

1. Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0 oppure ∞/∞. Ipotesi soddisfatta
2. La funzione h(x) = xsin²x è derivabile in un intorno dello zero. Ipotesi soddisfatta.
3. La funzione g(x) = tanx - x è derivabile in un intorno dello zero. Ipotesi soddisfatta.

Calcoliamo il limite delle derivate 

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{sinx(sinx+2xcosx)}{\frac{1}{cos^2x} - 1} $         Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0

Verifichiamo le ipotesi per applicare ancora una volta de l'Hôpital:

1. Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0 oppure ∞/∞. Ipotesi soddisfatta
2. La funzione h'(x) è derivabile in un intorno dello zero. Ipotesi soddisfatta.
3. La funzione g'(x) = è derivabile in un intorno dello zero. Ipotesi soddisfatta.

Calcoliamo il limite delle derivate 

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-2x\,sin^2x+2x\,cos^2x+4sin\,x \,cos\,x}{\frac{2tanx}{cos^2x} } $        Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0

Verifichiamo le ipotesi per applicare ancora una volta de l'Hôpital:

1. Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0 oppure ∞/∞. Ipotesi soddisfatta
2. La funzione h"(x) è derivabile in un intorno dello zero. Ipotesi soddisfatta.
3. La funzione g"(x) = è derivabile in un intorno dello zero. Ipotesi soddisfatta.

Calcoliamo il limite delle derivate 

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-6sin^2x+6cos^2x+8x\,sin\,x \,cos\,x}{\frac{2}{cos^2x} (2tan^2x-\frac{1}{cos^2x})} = \frac{6}{2} = 3 $

Conclusione applicando il teorema di de l'Hôpital.

a) visto che esiste finito il limite delle derivate terze allora per de l'Hôpital esisterà il limite delle derivate seconde e varrà 3.

b) visto che esiste finito il limite delle derivate seconde allora per de l'Hôpital esisterà il limite delle derivate prime e varrà 3.

c) visto che esiste finito il limite delle derivate prime allora per de l'Hôpital esisterà il limite della funzione e varrà 3.