[Risolto] buongiorno qualcuno mi può aiutare con questa disequazione

$\dfrac{\sqrt{2}}{cos(x)} + \dfrac{4cos(x)}{sin^2(2x)} + \dfrac{sin(x+\pi/2)}{sin^2(x)} <0$

Dalle formule degli archi associati e di duplicazione

$sin(x+\pi/2) = cos(x)$

$sin^2(2x) = (2cos(x)sin(x))^2$

Sostituendo nell'espressione si ottiene

$\dfrac{\sqrt{2}}{cos(x)} + \dfrac{4cos(x)}{4cos^2(x)sin^2(x)} + \dfrac{cos(x)}{sin^2(x)} <0$

Semplificando si ottiene

$\dfrac{\sqrt{2}}{cos(x)} + \dfrac{1}{cos(x)sin^2(x)} + \dfrac{cos(x)}{sin^2(x)} <0$

Condizioni di esistenza: denominatore diverso da zero

$x \neq k\pi$ e $x \neq \pi /2 +k\pi$ con k intero.

$\dfrac{\sqrt{2}sin^2(x) + 1 + cos^2(x)}{sin^2(x)cos(x)} <0$

Il numeratore è una somma di quadrati e di una costante positiva: non si annulla mai e il valore minimo che raggiunge è 1 >0. Per vedere quando è negativa l'espressione bisogna valutare il denominatore.

Il sin^2 è sempre positivo (diverso da zero per le condizioni di esistenza poste in precedenza) quindi l'unico termine che manca è cos(x). Esso è negativo (non nullo) per x ]pi/2 e 3pi/2[ di periodicità 2kpi. Assieme alle condizioni di esistenza si ottiene

$x\in ]\pi/2 +2k\pi , 3\pi/2+2k\pi[ $ e $x\neq \pi+2k\pi$