Determina l'equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta di di equazione y = x-3 nel punto di intersezione con l'asse y. Tra le infinite circonferenze del fascio trova quella che passa per P(4;-1).
Determina l'equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta di di equazione y = x-3 nel punto di intersezione con l'asse y. Tra le infinite circonferenze del fascio trova quella che passa per P(4;-1).
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Livello 1
Ciao.
un fascio di circonferenze è un insieme di infinite circonferenze i cui centri giacciono su una retta , detta retta dei centri o asse centrale.
Quindi determiniamo l'asse centrale. Tale asse è quindi perpendicolare alla retta tangente e quindi deve passare da A(0,-3) e da P(4,-1).
Retta tangente: y= x-3 quindi: m=1 e q= -3 con ovvio significato dei simboli m e q.
Quindi l'asse centrale ha equazione: y=-x-3
Il centro della circonferenza ha coordinate C(x, -x-3)
Equazione della circonferenza: x^2+y^2+ax+by+c=0
Devo imporre l'equidistanza di C da A e da P:
√((x - 0)^2 + (-x - 3 + 3)^2) = √((x - 4)^2 + (-x - 3 + 1)^2)
elevo al quadrato:
2·x^2 = 2·x^2 - 4·x + 2
risolvo: x = 5---------> C(5,-8)
La circonferenza è quella di figura:
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Genius III
@lucianop 👍👌👍
Il termine "fascio" mi disturba : trova un sinonimo di pari significato🤔🤭
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Genius III
@remanzini_rinaldo il termine usato è giusto matematicamente parlando
@tiziomatematico...ma non mi dire😮🤭
La tangente
* t ≡ y = x - 3
di pendenza m = 1, interseca l'asse y nel punto di tangenza
* T(0, - 3)
da cui passa la normale
* n ≡ y = - (x + 3)
su cui giacciono tutti i centri C(k, - (k + 3)), distanti da T un raggio
* r = (√2)*k
quindi l'equazione delle circonferenze del fascio risulta
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y + k + 3)^2 = 2*k^2
---------------
La condizione di passare per P(4, - 1) impone il vincolo
* (4 - k)^2 + (- 1 + k + 3)^2 = 2*k^2 ≡ k = 5
da cui
* Γ(5) ≡ (x - 5)^2 + (y + 8)^2 = 50
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Genius I