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Buona sera volevo aiutarmi con questo problema di matematica grazie in anticipo

  

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Per quali valori dei coefficienti a, b, c, d l'iperbole y=ax+b/cx+d ha centro C(2; - 1) e passa per
B(0; 1)? Considerata 'intersezione con l'asse x,
trova l'equazione della tangente t in tale punto.
Detti D ed E i punti di intersezione fra t e gli asintoti , calcola l'area del triangolo ECD e l'equazione della circonferenza a esso circoscritta.

 

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Ciao di nuovo:

Grafico:

image

Per quali valori dei coefficienti a, b, c, d l'iperbole y=ax+b/cx+d ha centro C(2; - 1) e passa per
B(0; 1)?

y = (a·x + b)/(c·x + d)

[2, -1]   significa che la funzione omografica ha asintoti: x=2 ed y=-1

poi passa per [0, 1]

Si impongono 3 condizioni:

{a/c = -1 (asintoto orizzontale)

{- d/c = 2 (asintoto verticale)

{1 = (a·0 + b)/(c·0 + d)

quindi:

{a = -c

{c = - d/2

{1 = b/d

Risolvo ed ottengo: [a = d/2 ∧ b = d ∧ c = - d/2]

Siccome la conica è definibile attraverso 3 parametri (come tutte le altre coniche) pongo d=1

[a = 1/2 ∧ b = 1 ∧ c = - 1/2] e l'iperbole è:

y = (1/2·x + 1)/((- 1/2)·x + 1)-------> y = (x + 2)/(2 - x)

Considerata l 'intersezione con l'asse x, trova l'equazione della tangente t in tale punto.

{y = (x + 2)/(2 - x)

{y = 0

Risolvo ed ottengo: [x = -2 ∧ y = 0]------> [-2, 0]

Pongo l'iperbole nella forma implicita:

y·(2 - x) = x + 2-----------------> x·y - 2·y + x + 2 = 0

Applico le formule di sdoppiamento:

image

(- 2·y + 0·x)/2 - 2·(y + 0)/2 + (-2 + x)/2 + 2 = 0

x/2 - 2·y + 1 = 0

Ultima parte:

Detti D ed E i punti di intersezione fra t e gli asintoti , calcola l'area del triangolo ECD e l'equazione della circonferenza a esso circoscritta.

{x/2 - 2·y + 1 = 0

{x = 2

risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 1]--------> [2, 1]

{x/2 - 2·y + 1 = 0

{y = -1

Risolvo ed ottengo:[x = -6 ∧ y = -1]------> [-6, -1]

Penso che il più sia fatto!

Il triangolo rimasto è rettangolo, quindi inscrivibile in una circonferenza. Il diametro è facilmente individuabile se osservi la figura. Individuabile la circonferenza, perché individuabile il centro ed il raggio. Ciao. Prova anche tu a fare qualcosa e fammi sapere.

 

 

 

 

 

@lucianop può aiutarmi anche con la soluzione dell intero problema ?  mi ritorno un sistema con 4 equazioni a tre incognite ma è impossibile… non so come uscirne

@mariobassi

Ti dimentichi che hai a che fare con una conica per cui bastano 3 parametri per definirla.

@lucianop ha ragione… 

comunque la prima parte è ok ,mi trovo con tutti i passaggi solo che stavo cercando un’altra incognita nella 4 equazione 

per il resto ? come dovrei proseguire ?




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Aggiungendo le DOVUTE parentesi che tu lasciasti nella tastiera, l'iperbole Γ è, se esiste, quella definita dalla funzione omografica
* Γ ≡ y = (a*x + b)/(c*x + d)
che ha asintoti
* a*d = b*c ≡ c*x + d = 0 ≡ (c != 0) & (x = - d/c) verticale
* lim_(x → ∞) y = (c != 0) & (y = a/c) orizzontale
che s'intersecano in C(- d/c, a/c).
La condizione di passaggio per B(0, 1) impone il vincolo
* 1 = (a*0 + b)/(c*0 + d) ≡ d = b
---------------
Pertanto il primo quesito si sarebbe dovuto formulare come
* «Per quali valori dei coefficienti a, b, c, d la funzione "y = (a*x + b)/(c*x + d)" rappresenta un'iperbole per B(0, 1) centrata in C(2, - 1)?»
A questa formulazione si risponde col sistema
* (- d/c = 2) & (a/c = - 1) & (c != 0) & (a*d != b*c) & (d = b) ≡
≡ (b = d = 2*a) & (c = - a) & (a != 0)
da cui
* Γ ≡ y = (a*x + 2*a)/(- a*x + 2*a) ≡ y = (2 + x)/(2 - x)
con asintoti
* x = 2
* y = - 1
e pendenza
* dy/dx = m(x) = 4/(x - 2)^2
------------------------------
Il secondo quesito chiede l'intersezione
* (y = 0) & (y = (2 + x)/(2 - x)) ≡ T(- 2, 0)
e di trovare, fra le rette per T non parallele all'asse y,
* t(m) ≡ y = m*(x + 2)
quella tangente Γ, con la stessa pendenza
* m(- 2) = 4/(- 2 - 2)^2 = 1/4
cioè
* t ≡ t(1/4) ≡ y = (x + 2)/4
------------------------------
Il terzo quesito chiede tre cose.
---------------
3a) le intersezioni
3a1) (y = (x + 2)/4) & (x = 2) ≡ D(2, 1)
3a2) (y = (x + 2)/4) & (y = - 1) ≡ E(- 6, - 1)
---------------
3b) L'area del triangolo di vertici
* C(2, - 1), D(2, 1), E(- 6, - 1)
che, avendo per costruzione C ed E allineati sulla y = - 1 e C e D allineati sulla x = 2, ha come area il semiprodotto dei cateti
* S = |- 1 - 1|*|- 6 - 2|/2 = 8
---------------
3c) L'equazione del circumcerchio di CDE centrato nel punto medio M(- 2, 0) dell'ipotenusa DE e di raggio R pari a metà della sua lunghezza: R = |DE|/2 = 2*√17/2 = √17.
Quindi
* (x + 2)^2 + y^2 = 17

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