Per quali valori dei coefficienti $a, b, c, d$ l'iperbole $y=\frac{a x+b}{c x+d}$ ha centro $C(2 ;-1)$ e passa per $B(0 ; 1)$ ? Considerata l'intersezione con l'asse $x$, trova l'equazione della tangente $t$ in tale punto. Detti $D$ ed $E$ i punti di intersezione fra $t$ e gli asintoti, calcola l'area del triangolo ECD e l'equazione della circonferenza a esso circoscritta. $[a=-1, b=-2, c=1, d=-2 ; x-4 y+2=0$ area $\left.=8 ; x^2+y^2+4 x-13=0\right]$
Detti D ed E i punti di intersezione fra t e gli asintoti , calcola l'area del triangolo ECD e l'equazione della circonferenza a esso circoscritta.
{x/2 - 2·y + 1 = 0
{x = 2
risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 1]--------> [2, 1]
{x/2 - 2·y + 1 = 0
{y = -1
Risolvo ed ottengo:[x = -6 ∧ y = -1]------> [-6, -1]
Penso che il più sia fatto!
Il triangolo rimasto è rettangolo, quindi inscrivibile in una circonferenza. Il diametro è facilmente individuabile se osservi la figura. Individuabile la circonferenza, perché individuabile il centro ed il raggio. Ciao. Prova anche tu a fare qualcosa e fammi sapere.
@lucianop può aiutarmi anche con la soluzione dell intero problema ? mi ritorno un sistema con 4 equazioni a tre incognite ma è impossibile… non so come uscirne
comunque la prima parte è ok ,mi trovo con tutti i passaggi solo che stavo cercando un’altra incognita nella 4 equazione
per il resto ? come dovrei proseguire ?
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Aggiungendo le DOVUTE parentesi che tu lasciasti nella tastiera, l'iperbole Γ è, se esiste, quella definita dalla funzione omografica * Γ ≡ y = (a*x + b)/(c*x + d) che ha asintoti * a*d = b*c ≡ c*x + d = 0 ≡ (c != 0) & (x = - d/c) verticale * lim_(x → ∞) y = (c != 0) & (y = a/c) orizzontale che s'intersecano in C(- d/c, a/c). La condizione di passaggio per B(0, 1) impone il vincolo * 1 = (a*0 + b)/(c*0 + d) ≡ d = b --------------- Pertanto il primo quesito si sarebbe dovuto formulare come * «Per quali valori dei coefficienti a, b, c, d la funzione "y = (a*x + b)/(c*x + d)" rappresenta un'iperbole per B(0, 1) centrata in C(2, - 1)?» A questa formulazione si risponde col sistema * (- d/c = 2) & (a/c = - 1) & (c != 0) & (a*d != b*c) & (d = b) ≡ ≡ (b = d = 2*a) & (c = - a) & (a != 0) da cui * Γ ≡ y = (a*x + 2*a)/(- a*x + 2*a) ≡ y = (2 + x)/(2 - x) con asintoti * x = 2 * y = - 1 e pendenza * dy/dx = m(x) = 4/(x - 2)^2 ------------------------------ Il secondo quesito chiede l'intersezione * (y = 0) & (y = (2 + x)/(2 - x)) ≡ T(- 2, 0) e di trovare, fra le rette per T non parallele all'asse y, * t(m) ≡ y = m*(x + 2) quella tangente Γ, con la stessa pendenza * m(- 2) = 4/(- 2 - 2)^2 = 1/4 cioè * t ≡ t(1/4) ≡ y = (x + 2)/4 ------------------------------ Il terzo quesito chiede tre cose. --------------- 3a) le intersezioni 3a1) (y = (x + 2)/4) & (x = 2) ≡ D(2, 1) 3a2) (y = (x + 2)/4) & (y = - 1) ≡ E(- 6, - 1) --------------- 3b) L'area del triangolo di vertici * C(2, - 1), D(2, 1), E(- 6, - 1) che, avendo per costruzione C ed E allineati sulla y = - 1 e C e D allineati sulla x = 2, ha come area il semiprodotto dei cateti * S = |- 1 - 1|*|- 6 - 2|/2 = 8 --------------- 3c) L'equazione del circumcerchio di CDE centrato nel punto medio M(- 2, 0) dell'ipotenusa DE e di raggio R pari a metà della sua lunghezza: R = |DE|/2 = 2*√17/2 = √17. Quindi * (x + 2)^2 + y^2 = 17