Buon ultimo dell'anno, potreste aiutarmi con questo esercizio sull'ellisse con cui combatto da stamattina? 😥

Sai che c^2 = (2 rad 2)^2 = 8

e che 5/(9a^2) + 4/b^2 = 1

pertanto

b^2 - a^2 = 8

5/9 * 1/(a^2) + 4/(8+a^2) = 1

a^2 = 1 e b^2 = 9

x^2 + y^2/9 = 1

USARE L'ARTICOLO DETERMINATIVO ("dell'ellisse") è, a dir poco, UN AZZARDO; ma è più probabile che sia una domanda scritta male o senza esporre le premesse scritte in cima al gruppo di esercizi.
Un fuoco in F(0, 2*√2) dice solo che il centro C(u, v) dev'essere su una retta per F, ma non dice nulla sulle misure dei semiassi e il loro orientamento.
ESEMPIO
Ponendo F1(0, 2*√2) ed F2(4/5, 12/5), l'asse maggiore pari a 2*k^2 e il generico punto P(x, y) si ha l'equazione di quest'ellisse Γ d'esempio
* Γ ≡ |PF1| + |PF2| = 2*k^2 ≡
≡ √(x^2 + (y - 2*√2)^2) + √((x - 4/5)^2 + (y - 12/5)^2) = 2*k^2
La condizione di passaggio per (√5/3, 2) impone il vincolo
* √((√5/3)^2 + (2 - 2*√2)^2) + √((√5/3 - 4/5)^2 + (2 - 12/5)^2) - 2*k^2 = 0 ≡
≡ k^2 = (5*√(113 - 72*√2) + √(5*(61 - 24*√5)))/30
quindi l'ellisse è
* Γ ≡ √(x^2 + (y - 2*√2)^2) + √((x - 4/5)^2 + (y - 12/5)^2) - (5*√(113 - 72*√2) + √(5*(61 - 24*√5)))/15 = 0
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=plot%5B%E2%88%9A%28x%5E2--%28y-2*%E2%88%9A2%29%5E2%29--%E2%88%9A%28%28x-4%2F5%29%5E2--%28y-12%2F5%29%5E2%29-%285*%E2%88%9A%28113-72*%E2%88%9A2%29--%E2%88%9A%285*%2861-24*%E2%88%9A5%29%29%29%2F15%3D0%5D