[Risolto] Assi cartesiani

Distanze:

$AB= |2-12|=10$
$BC=√(12-7)^2+(1-12)^2=√5^2+11^2=√25+121=√146$
$CA=BC$ perché triangolo isoscele

Perimetro: $√146+√146+10=2√146+10=34.16609$

altezza:

$√(√146)^2-5^2$
$√146-25$
$√121$
$11$

area:

$10•11/2$
$55$

OSSERVAZIONI
Anche quest'esercizio, come già due o tre precedenti, presenta il GRAVE E INGANNEVOLE ERRORE CONCETTUALE di pretendere che dai punti dati [A(2, 1), B(12, 1), C(7, 12)] adimensionali, forniti rigorosamente privi di qual che sia unità di misura, si possano trarre risultati con unità di misura (u, u^2)!
L'autore di un testo di matematica così ignorante dell'analisi dimensionale non meriterebbe che il suo testo sia adottabile e adottato.
questo particolare esercizio, poi, presenta anche una ciliegina di stupidaggine a guarnire l'errore concettuale: dà tre vertici e lo dice lui stesso che il loro triangolo è isoscele!
E se così non risultasse dai calcoli?
La cosa metterebbe l'alunno in imbarazzo, per colpa di un testo scritto in fretta e sciattamente: sono le proprietà geometriche a doversi dedurre dai calcoli, non i calcoli a dover verificare quanto dichiarato!
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ESERCIZIO
Il triangolo di vertici
* A(2, 1), B(12, 1), C(7, 12)
ha i lati che misurano
* a = |BC| = |C - B| = |(7, 12) - (12, 1)| = |(- 5, 11)| = √((- 5)^2 + 11^2) = √146
* b = |AC| = |C - A| = |(7, 12) - (2, 1)| = |(5, 11)| = √(5^2 + 11^2) = √146
* c = |AB| = |B - A| = |(12, 1) - (2, 1)| = |(10, 0)| = 10
ed è da qui che, trovando a = b, si può dire che ABC è isoscele sulla base AB; l'altezza h su AB è la differenza fra l'ordinata di C e quella comune ad A e B
* h = yC - yAB = 12 - 1 = 11
Quindi ABC ha
* perimetro p = a + b + c = √146 + √146 + 10 = 10 + 2*√146 SENZA u
* area S = c*h/2 = 10*11/2 = 55 SENZA u^2
VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%282%2C1%29%2812%2C1%29%287%2C12%29

Le misure dei tre lati sono 

AB = |12 - 2| u = 10 u

BC = sqrt ( 25 + 121 ) u  = sqrt (146) u 

AC = sqrt ( 25 + 121 ) u = sqrt (146) u  

P = 10 u + 2 sqrt (146) u ~ 34.166 u 

Per l'area, considera che la base é AB e che l'altezza é la distanza di C 

dalla retta che la contiene : h = |12 - 1| = 11 u

S = b*h/2 = (10 u* 11 u)/2 = 55 u^2