Asintoti, punti stazionari e flessi.

Preliminari

$ y(x) = \sqrt[3] {x^2(x-3)} $

$ y'(x) = \frac{x(x-2)}{\sqrt[3]{(x^2(x-1))^2}}  $

y"$(x) = \frac{-2}{\sqrt[3]{(x^2(x-3))^2}} $

• Dominio  = ℝ
  • nessun punto di discontinuità, quindi nessun asintoto verticale.

• Asintoti

• • Obliqui
    • $ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x} = 1 $
    • $ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) - x = -1 $ 

Si tratta di un asintoto obliquo di equazione $y = x -1 $

• Punti stazionari/estremanti
  • $y'(x) = 0 \; ⇒ \; x = 2$
    • $y"$(2) = \frac{1}{5\sqrt[3]{2} 5^{\frac{2}{3}}} $ che è un valore positivo quindi si tratta di un minimo 
    • $y(2) = -\sqrt[3]{4} ⇒ min(2, -\sqrt[3]{4})$

• • • La derivata prima non è definita in O(0, 0)
      • $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} y'(x) = +\infty$
      • $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} y'(x) = -\infty$

Si tratta di una cuspide

• Punti di flesso
  • y"$(x) → 0 \; ⇒ \; x → 3 \; ⇒ \; F(3, 0) $
  • Verifichiamo che trattasi di un flesso

Segno derivata seconda in un intorno di x = 3

_________3____________

-------------0+++++++++   y(x)

+++++++0----------------   y"(x)

Si tratta di un flesso infatti oltre ad annullare la derivata seconda si ha un cambio di concavità. 

Flesso, $F(3, 0)$ 

Essendo

$\displaystyle\lim_{x \to 3} y'(x) = +∞ $

Possiamo concludere che il flesso F(3, 0) è a tangente verticale.

Grafico