[Risolto] Asintoti obliqui della funzione quali sono

Gli eventuali asintoti obliqui nel grafico delle funzioni razionali fratte si debbono cercare solo se il grado del numeratore supera esattamente di uno quello del denominatore, come nel tuo esercizio d'esempio
* f(x) = y = (x^3 + 1)/(x^2 - 4)
perché è solo a tale condizione che la pendenza può stabilizzarsi, all'infinito, su un valore "m" finito.
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Se invece
* lim_(x → ∞) f(x)/x = ± ∞
allora l'asintoto obliquo non esiste.
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Si può avere un unico valore, bilaterale,
* lim_(x → ∞) f(x)/x = m (con |m| < ∞)
e allora ci può essere un unico asintoto obliquo, sempreché sia finita anche l'intercetta
* lim_(x → ∞) |f(x) - m*x| = q (con |q| < ∞)
in tal caso l'asintoto obliquo è
* y = m*x + q
oppure si possono avere finiti uno o entrambi i limiti monolateri
* lim_(x → - ∞) f(x)/x = m1 (con |m1| < ∞)
* lim_(x → + ∞) f(x)/x = m2 (con |m2| < ∞)
e in tal caso, sempre a condizione che sia/no finita/e anche la/e intercetta/e, si potrebbero avere asintoti obliqui monolateri.
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Nel caso d'esempio
* f(x) = y = (x^3 + 1)/(x^2 - 4)
si ha
* lim_(x → ∞) f(x)/x = 1 < ∞
* lim_(x → ∞) |f(x) - m*x| = 0 < ∞
quindi il grafico di f(x) ha il solo asintoto obliquo
* y = x
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+y%3D%28x%5E3--1%29%2F%28x%5E2-4%29

Hai un solo asintoto obliquo: y = x

e due asintoti verticali: x=-2 ed x=2

Per le funzioni razionali fratte come in questo caso, ti conviene eseguire la divisione ottenendo un quoziente ed un resto. Essa ti permette di scrivere la funzione nel modo equivalente:

y = (x^3 + 1)/(x^2 - 4)-----> y = (4·x + 1)/(x^2 - 4) + x

per x---->+/- ∞ il primo addendo---->0 e rimane y=x che è il comportamento della funzione: cioè la funzione si comporta per x---->+/- ∞ come la retta ottenuta e pertanto ne è il suo asintoto.

(eventualmente puoi verificarlo con il metodo generale che sicuramente conosci!)