Asintoti

y = x^3/(3·x^2 + 7·x - 6)

Funzione razionale fratta con N(x) di 3° grado e D(x) di 2° grado quindi un grado di differenza. In tal caso abbiamo un asintoto obliquo che si deduce facendo la divisione tra polinomi N(x)/D(x) ed ottenendo un quoziente Q(x) che è l'asintoto obliquo:

y = x/3 - 7/9 =Q(x)

L'annullamento del denominatore mette in evidenza asintoti verticali:

3·x^2 + 7·x - 6 = 0---> (x + 3)·(3·x - 2) = 0

x = 2/3 ∨ x = -3

$ y(x) = \frac{x^3}{(x+3)(3x-2)} $

• Dominio = ℝ\{-3, 2/3}

Due punti di discontinuità. Verifichiamo la presenza di asintoti verticali

1.   x = -3

$\displaystyle\lim_{x \to -3^-} y(x) = -\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to -3^+} y(x) = +\infty$

Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = -3

2.   x = 2/3

$\displaystyle\lim_{x \to (-frac{2}{3})^-} y(x) = -\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to (-frac{2}{3}^+} y(x) = +\infty$

Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = 2/3

Comportamento di y(x) all'infinito.

Dai gradi dei polinomi deduciamo che potrebbe essere presente un asintoto obliquo. Verifichiamolo.

$ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x} = \frac{1}{3} $

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x)- \frac{x}{3} = -\frac{7}{9} $

L'asintoto obliquo è la retta $y = \frac{1}{3}x - \frac{7}{9} $