Asintoti

y = 3·x/(x^2 - 3) - 4·x/(2·x - 1)

Sommo le frazioni algebriche e scrivo la funzione razionale fratta:

y = (3·x·(2·x - 1) - 4·x·(x^2 - 3))/((x^2 - 3)·(2·x - 1))

y = (- 4·x^3 + 6·x^2 + 9·x)/((x^2 - 3)·(2·x - 1))

o anche:

y = (- 4·x^3 + 6·x^2 + 9·x)/(2·x^3 - x^2 - 6·x + 3)

Quindi ottengo :

N(x)=- 4·x^3 + 6·x^2 + 9·x

D(x)=2·x^3 - x^2 - 6·x + 3

polinomi di 3° grado entrambi. Quindi deduco un solo asintoto orizzontale di equazione data dal rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo:

y=(-4)/2--------> y=-2

Asintoti verticali dati dall'annullamento del denominatore:

(x^2 - 3)·(2·x - 1) = 0

quindi: x = - √3 ∨ x = √3 ∨ x = 1/2

$ y(x) = \frac{3x}{x^2-3} -\frac{4x}{2x-1} $

• Dominio = ℝ\{±√3, 1/2}

tre punti di discontinuità. Verifichiamo che trattasi di asintoti verticali

1.  x = -√3

$\displaystyle\lim_{x \to -√3^-} y(x) = -\infty $

$\displaystyle\lim_{x \to -√3^+} y(x) = +\infty $

Siamo di fronte a un asintoto verticale di equazione x = -√3

Si applichi analoga procedura per gli altri due punti di discontinuità. Si scoprirà che anche in quei due casi si tratta di asintoti verticali.

Comportamento all'infinito

$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) = 0-2 = -2 $

La funzione y(x) ammette asintoto orizzontale bilaterale di equazione y = -2