Asintoti

$ y(x) = \frac{x^3+8}{x^2-9} $

• Dominio = ℝ\{± 3}

Due punti di discontinuità.

1.

$\displaystyle\lim_{x \to -3^-} y(x) = -\infty $

$\displaystyle\lim_{x \to -3^+} y(x) = +\infty $

Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = -3

2.

$\displaystyle\lim_{x \to 3^-} y(x) = -\infty $

$\displaystyle\lim_{x \to 3^+} y(x) = +\infty $

Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = 3

Determiniamo il comportamento all'infinito

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) = -\infty $

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = +\infty $

Nessun asintoto orizzontale.

Osserviamo che il polinomio al numeratore ha un grado in più di quello al denominatore, quindi vi sono probabilità che ci sia un asintoto obliquo.

$ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x} = 1 $

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) -x =  $

$ = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{9x+8}{x^2-9} = 0  $

C'è un asintoto obliquo la cui funzione è y = x.