Asintoti

Problema:

Determinare gli asintoti della seguente funzione:

$y=\frac{2x²-8}{x²-5x+6}$

Soluzione:

Per individuare gli asintoti orizzontali bisogna studiare il valore del limite a $\pm \infty$. Se il valore del rispettivo limite non è finito, potrebbe essere presente un asintoto obliquo.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x²-8}{x²-5x+6}=2$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x²-8}{x²-5x+6}=2$

Dato che i limiti coincidono, vi è un unico asintoto orizzontale per entrambi i lati della funzione, questo risulta essere $y=2$. Ciò implica che non esiste un asintoto obliquo.

Per individuare gli asintoti verticali è necessario individuare i punti non presenti nel campo di esistenza della funzione. Dato che la funzione è fratta, è necessario porre il denominatore non nullo:

$x²-5x+6=(x-3)(x-2)\neq 0 \implies x \neq 3, x \neq 2$.

È necessario dunque studiare i limiti destri e sinistri di ogni punto problematico individuato. Se i valori del limite risultano finiti, non vi è un asintoto verticale.

$\lim_{x \to 2^+} \frac{2x²-8}{x²-5x+6}=-8$

$\lim_{x \to 2^-} \frac{2x²-8}{x²-5x+6}=-8$

$\lim_{x \to 3^+} \frac{2x²-8}{x²-5x+6}=+\infty$

$\lim_{x \to 3^-} \frac{2x²-8}{x²-5x+6}=-\infty$

Ciò significa che non vi è un asintoto verticale in $x=2$, ma soltanto in $x=3$.