Determina l'equazione della parabola, avente asse parallelo all'asse $y$ e concavità rivolta verso il basso, che interseca l'asse $x$ nell'origine $O$ e nel punto $A(3,0)$, tale che il segmento parabolico limitato dalla parabola e dall'asse $x$, in una rotazione completa intorno all'asse $x$ stesso, generi un solido di volume $\frac{9 \pi}{10}$.
$$
\left[y=-\frac{1}{3} x^2+x\right]
$$
Spiegare i passaggi e il ragionamento.
11881
punti
Livello 2
La parabola è del tipo:
y = a·x·(x - 3)
in quanto deve passare per i due punti:
[0, 0] ed [3, 0] tenendo anche conto che debba essere: a < 0
Quindi dobbiamo porre il valore dell'integrale definito da x = 0 ad x = 3
∫(pi·(a·x^2 - 3·a·x)^2) dx = pi·a^2·x^3·(2·x^2 - 15·x + 30)/10 = 9/10·pi
pi·a^2·3^3·(2·3^2 - 15·3 + 30)/10 = 81·pi·a^2/10
pi·a^2·0^3·(2·0^2 - 15·0 + 30)/10 = 0
81·pi·a^2/10 - 0 = 81·pi·a^2/10
quindi deve essere:
81·pi·a^2/10 = 9/10·pi----> a = - 1/3 ∨ a = 1/3
quindi in grassetto la soluzione
y = (- 1/3)·x^2 - 3·(- 1/3)·x
y = x - x^2/3
115486
punti
Genius III
