Area triangolo rettangolo?

Il triangolo rettangolo $CDI$ di ipotenusa $\overline{CD}$ è circoscritto ad una circonferenza di area $\pi$ e inscritto in un quarto di circonferenza di raggio $\overline{OA} \cong \overline{OB} = R = 8$. Dato che $\overline{OI}$ è un raggio della circonferenza, anche $\overline{OI}=8$. Dato che $\overline{CI} \perp \overline{ID}$ e $\overline{OA} \perp \overline{OB}$, si conclude che $ODIC$ è un quadrilatero ciclico ($O$ $B$ e $C$ sono allineati, come lo sono $O$, $D$ e $A$, ma su una perpendicolare). Dato che ciascun angolo di una coppia misura $90^{\circ}$, anche l'altra avrà angoli retti, quindi $OIDC$ è un rettangolo. Le diagonali di un rettangolo sono congruenti, quindi $\overline{OI} = R =8 \cong \overline{DC}$.

Detta $a$ la misura di $\overline{CI}$ e $b$ la misura di $\overline{ID}$, dal teorema di Pitagora otteniamo che:

$a^2+b^2=8^2$.

Sappiamo che la circonferenza inscritta in $DIC$ ha area $\pi$, il raggio $r$ di questa circonferenza è dunque $\pi r^2 = \pi \implies r =1$. Scomponendo $DIC$ come in figura, possiamo esprimerne l'area usando la somma di aree di triangoli più piccoli:

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}ar+\dfrac{1}{2}br+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}r= \dfrac{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}{2} \cdot r = \dfrac{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ dato che $r=1$.

Sapendo che $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}ab$ possiamo eguagliare le due espressioni:

$\dfrac{a+b+8}{2}=\dfrac{ab}{2}$

$a+b=ab-8$

$a^2+b^2+2ab=(ab)^2-16ab+8^2$

Sapendo che $a^2+b^2=8^2$ e che $ab=2\mathcal{A}$, possiamo sostituire:

$64+4\mathcal{A}=4\mathcal{A}^2-32\mathcal{A}+64$

$\mathcal{A}=9$.

Per disegnare facilmente il triangolo rettangolo basta trovare l'ampiezza $\alpha$ di $\widehat{AOI}$:

$\dfrac{ab}{2}=9$

$\dfrac{8\cos(\alpha) \cdot 8 \sin(\alpha)}{2}=9$

$16 \cdot 2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)=9$

$\sin(2\alpha)=\dfrac{9}{16}$

$\alpha=\dfrac{\arcsin \left ( \dfrac{9}{16} \right ) }{2} \approx 17.1144331639^{\circ}$.